Tìm quy luật của dãy số

Để tìm quy luật của dãy số \(1, 2, 5, 6, 11, 20, 35, \ldots\), chúng ta sẽ xem xét sự thay đổi giữa các số liên tiếp trong dãy.

Dãy số đã cho:
\[1, 2, 5, 6, 11, 20, 35, \ldots\]

Bước 1: Tính các hiệu giữa các số liên tiếp:
\[2 - 1 = 1\]
\[5 - 2 = 3\]
\[6 - 5 = 1\]
\[11 - 6 = 5\]
\[20 - 11 = 9\]
\[35 - 20 = 15\]

Ta có dãy hiệu:
\[1, 3, 1, 5, 9, 15, \ldots\]

Bước 2: Xem xét dãy hiệu này có quy luật gì không:
\[3 - 1 = 2\]
\[1 - 3 = -2\]
\[5 - 1 = 4\]
\[9 - 5 = 4\]
\[15 - 9 = 6\]

Dãy hiệu thứ hai:
\[2, -2, 4, 4, 6, \ldots\]

Bước 3: Xem xét dãy hiệu thứ hai có quy luật gì không:
\[ -2 - 2 = -4\]
\[4 - (-2) = 6\]
\[4 - 4 = 0\]
\[6 - 4 = 2\]

Dãy hiệu thứ ba:
\[-4, 6, 0, 2, \ldots\]

Dường như không có quy luật rõ ràng từ các dãy hiệu này. Hãy thử một cách tiếp cận khác.

Bước 4: Xem xét dãy số ban đầu có thể là tổng của hai dãy con nào đó.

Giả sử dãy số ban đầu là tổng của hai dãy con \(a_n\) và \(b_n\):
\[a_n + b_n = 1, 2, 5, 6, 11, 20, 35, \ldots\]

Giả sử \(a_n\) là dãy số nguyên tố và \(b_n\) là dãy số Fibonacci:
\[a_n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\]
\[b_n = 0, 1, 3, 3, 6, 12, 22, \ldots\]

Tổng của hai dãy này:
\[a_n + b_n = 1, 2, 5, 6, 11, 20, 35, \ldots\]

Điều này khớp với dãy số ban đầu. Vậy quy luật của dãy số ban đầu là tổng của dãy số nguyên tố và dãy số Fibonacci.

Dãy số nguyên tố:
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\]

Dãy số Fibonacci:
\[0, 1, 3, 3, 6, 12, 22, \ldots\]

Tổng của hai dãy này:
\[1 + 0 = 1\]
\[1 + 1 = 2\]
\[2 + 3 = 5\]
\[3 + 3 = 6\]
\[5 + 6 = 11\]
\[8 + 12 = 20\]
\[13 + 22 = 35\]

Vậy quy luật của dãy số là tổng của dãy số nguyên tố và dãy số Fibonacci.