Để chứng minh tam giác \( DHN \) là tam giác vuông, ta cần chứng minh rằng một trong các góc của tam giác \( DHN \) là góc vuông.

Trước hết, ta xét hình vuông \( ABCD \) với các cạnh bằng nhau và các góc vuông. Đặt \( AB = BC = CD = DA = a \).

Giả sử \( BM = BN = x \). Do \( M \) nằm trên cạnh \( AB \) và \( N \) nằm trên cạnh \( BC \), ta có:
\[ AM = AB - BM = a - x \]
\[ CN = BC - BN = a - x \]

Gọi \( H \) là hình chiếu của \( B \) trên \( MC \). Điều này có nghĩa là \( BH \perp MC \).

Bây giờ, ta xét tam giác \( DHN \). Để chứng minh tam giác này vuông, ta cần kiểm tra các góc của tam giác này.

Xét các tọa độ trong hệ trục tọa độ với \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(a,a) \), \( D(0,a) \).

- Điểm \( M \) có tọa độ \( (a-x, 0) \).
- Điểm \( N \) có tọa độ \( (a, x) \).

Phương trình đường thẳng \( MC \) có thể được viết dưới dạng:
\[ y = \frac{a}{a-x}(x - (a-x)) = \frac{a}{a-x}(x - a + x) = \frac{a}{a-x}(2x - a) \]

Điểm \( B \) có tọa độ \( (a, 0) \). Hình chiếu \( H \) của \( B \) trên \( MC \) có tọa độ \( (a, h) \) sao cho \( BH \perp MC \).

Do \( BH \perp MC \), hệ số góc của \( BH \) là nghịch đảo âm của hệ số góc của \( MC \). Hệ số góc của \( MC \) là \( \frac{a}{a-x} \), do đó hệ số góc của \( BH \) là \( -\frac{a-x}{a} \).

Phương trình đường thẳng \( BH \) là:
\[ y = -\frac{a-x}{a}(x - a) \]

Điểm \( H \) nằm trên \( MC \), do đó:
\[ h = \frac{a}{a-x}(a - a + x) = \frac{a}{a-x}x = \frac{ax}{a-x} \]

Điểm \( D \) có tọa độ \( (0, a) \).

Xét tam giác \( DHN \):
- \( D(0, a) \)
- \( H(a, \frac{ax}{a-x}) \)
- \( N(a, x) \)

Ta thấy rằng \( H \) và \( N \) có cùng hoành độ \( a \), do đó đoạn \( HN \) là đoạn thẳng thẳng đứng. Vì \( D \) có tung độ \( a \) và \( N \) có tung độ \( x \), nên đoạn \( DN \) là đoạn thẳng nằm ngang.

Do đó, góc \( DHN \) là góc vuông vì \( DH \) là đoạn thẳng thẳng đứng và \( DN \) là đoạn thẳng nằm ngang.

Vậy tam giác \( DHN \) là tam giác vuông.