Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Phần a: Chứng minh \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)

1. **Sử dụng định lý phân giác trong tam giác:**
Định lý phân giác trong tam giác cho biết rằng phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Cụ thể, trong tam giác \( ABC \) với phân giác \( AD \) của góc \( A \), ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Áp dụng định lý phân giác:**
Trong tam giác \( ABC \), \( AD \) là phân giác của góc \( A \). Do đó, theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

3. **Thay số vào:**
Ta có \( AB = 9 \) cm và \( AC = 12 \) cm. Do đó:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

### Phần b: Tính độ dài \( AD \)

1. **Sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài \( BC \):**
Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay số vào:
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
Do đó:
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Sử dụng công thức tính độ dài phân giác trong tam giác vuông:**
Độ dài phân giác \( AD \) của tam giác vuông \( ABC \) có thể được tính bằng công thức:
\[
AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC}
\]
Thay số vào:
\[
AD = \frac{2 \cdot 9 \cdot 12}{9 + 12} = \frac{216}{21} = \frac{72}{7} \approx 10.29 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài của \( AD \) là \( \frac{72}{7} \) cm hay xấp xỉ 10.29 cm.