Tim giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( p = \frac{xy}{x^2 + y^2} \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp bất đẳng thức.

### Phương pháp bất đẳng thức

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này.

Xét bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai vector \((x, y)\) và \((y, x)\):

\[
(x^2 + y^2)(y^2 + x^2) \geq (xy + yx)^2
\]

Điều này tương đương với:

\[
(x^2 + y^2)^2 \geq (2xy)^2
\]

\[
(x^2 + y^2)^2 \geq 4x^2y^2
\]

\[
x^2 + y^2 \geq 2xy
\]

Do đó:

\[
\frac{xy}{x^2 + y^2} \leq \frac{xy}{2xy} = \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( p \) là \(\frac{1}{2}\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét bất đẳng thức:

\[
(x^2 + y^2) \geq 2xy
\]

Điều này không cung cấp thông tin về giá trị nhỏ nhất của \( p \). Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng khi \( x \) và \( y \) có dấu khác nhau, \( xy \) sẽ âm và giá trị của \( p \) sẽ âm. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần xét trường hợp cụ thể.

### Phương pháp đạo hàm

Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị của hàm số \( p \).

Đặt \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} \).

Tính các đạo hàm riêng phần của \( f \):

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2 + y^2) - xy(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{yx^2 + y^3 - 2x^2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2}
\]

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + y^2) - xy(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^3 + xy^2 - 2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2}
\]

Để tìm các điểm cực trị, ta giải hệ phương trình:

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \quad \text{và} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0
\]

Từ \(\frac{\partial f}{\partial x} = 0\):

\[
y(y^2 - x^2) = 0
\]

Từ \(\frac{\partial f}{\partial y} = 0\):

\[
x(x^2 - y^2) = 0
\]

Xét các trường hợp:

1. \( y = 0 \): Khi đó \( p = 0 \).
2. \( x = 0 \): Khi đó \( p = 0 \).
3. \( y^2 = x^2 \): Khi đó \( y = \pm x \).

- Nếu \( y = x \), thì \( p = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \).
- Nếu \( y = -x \), thì \( p = \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2} \).

Vậy giá trị lớn nhất của \( p \) là \(\frac{1}{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \( p \) là \(-\frac{1}{2}\).