Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông và đường cao trong tam giác vuông.

**Bài 1:**

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết BH = 1 cm và CH = 13 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BC, AB, AC.

1. **Tính BC:**

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Trong tam giác vuông, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là ABH và ACH, và ta có:
\[ BH \cdot CH = AH^2 \]

Thay BH = 1 cm và CH = 13 cm vào công thức trên:
\[ 1 \cdot 13 = AH^2 \]
\[ AH^2 = 13 \]
\[ AH = \sqrt{13} \, \text{cm} \]

2. **Tính AB và AC:**

Ta có:
\[ AB^2 = BH \cdot BC \]
\[ AC^2 = CH \cdot BC \]

Tổng độ dài BH và CH là:
\[ BH + CH = BC \]
\[ 1 + 13 = BC \]
\[ BC = 14 \, \text{cm} \]

Thay BC vào các công thức trên:
\[ AB^2 = 1 \cdot 14 \]
\[ AB^2 = 14 \]
\[ AB = \sqrt{14} \, \text{cm} \]

\[ AC^2 = 13 \cdot 14 \]
\[ AC^2 = 182 \]
\[ AC = \sqrt{182} \, \text{cm} \]

Vậy độ dài các đoạn thẳng là:
- AH = \(\sqrt{13}\) cm
- BC = 14 cm
- AB = \(\sqrt{14}\) cm
- AC = \(\sqrt{182}\) cm

**Bài 2:**

Cho tam giác DEF vuông tại D, DI là đường cao. Biết DE = 6 cm và DF = 8 cm.

a) Tính DI.

1. **Tính EF:**

Theo định lý Pythagoras trong tam giác DEF vuông tại D, ta có:
\[ EF^2 = DE^2 + DF^2 \]
\[ EF^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ EF^2 = 36 + 64 \]
\[ EF^2 = 100 \]
\[ EF = 10 \, \text{cm} \]

2. **Tính DI:**

Đường cao DI trong tam giác DEF vuông tại D chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là DEI và DFI, và ta có:
\[ DI^2 = DE \cdot DF \cdot \left( \frac{DE \cdot DF}{EF} \right) \]

Tuy nhiên, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm DI:
\[ \text{Diện tích tam giác DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2 \]

Diện tích tam giác DEF cũng có thể được tính bằng:
\[ \text{Diện tích tam giác DEF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot DI \]
\[ 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot DI \]
\[ 24 = 5 \cdot DI \]
\[ DI = \frac{24}{5} \]
\[ DI = 4.8 \, \text{cm} \]

Vậy độ dài DI là 4.8 cm.