Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\). Trên cạnh \(BC\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(BM = MN = NC\). Biết \(AM = AN\). Chứng minh:

a) Tam giác \(AMB = ANC\)

b) \(\angle ABN = \angle ACM\)

**Giải:**

**a) Chứng minh tam giác \(AMB = ANC\):**

Ta có các điều kiện sau:
- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(BM = MN = NC\) (giả thiết)
- \(AM = AN\) (giả thiết)

Xét hai tam giác \(AMB\) và \(ANC\):

1. \(AB = AC\) (giả thiết)
2. \(AM = AN\) (giả thiết)
3. \(\angle BAM = \angle CAN\) (vì \(M\) và \(N\) chia cạnh \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau, nên \(\angle BAM\) và \(\angle CAN\) là các góc đối đỉnh của hai tam giác cân \(AMB\) và \(ANC\))

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\triangle AMB = \triangle ANC
\]

**b) Chứng minh \(\angle ABN = \angle ACM\):**

Từ phần a, ta đã chứng minh được \(\triangle AMB = \triangle ANC\), do đó các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau. Cụ thể:

\[
\angle BAM = \angle CAN
\]

Xét tam giác \(ABN\) và tam giác \(ACM\):

1. \(AB = AC\) (giả thiết)
2. \(\angle BAN = \angle CAM\) (vì \(M\) và \(N\) chia cạnh \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau, nên \(\angle BAN\) và \(\angle CAM\) là các góc đối đỉnh của hai tam giác cân \(ABN\) và \(ACM\))
3. \(BN = CM\) (vì \(BM = MN = NC\) và \(M\) và \(N\) chia cạnh \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau)

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
\[
\triangle ABN = \triangle ACM
\]

Từ đó suy ra:
\[
\angle ABN = \angle ACM
\]

Vậy ta đã chứng minh được:
a) \(\triangle AMB = \triangle ANC\)
b) \(\angle ABN = \angle ACM\)