Để chứng minh rằng \( a = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 6 và 30, chúng ta sẽ phân tích tổng này và kiểm tra tính chia hết của nó.

### Chứng minh \( a \) chia hết cho 6

Số 6 có hai ước nguyên tố là 2 và 3. Do đó, để chứng minh \( a \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh \( a \) chia hết cho cả 2 và 3.

1. **Chia hết cho 2:**

Tất cả các số hạng trong tổng \( a \) đều là lũy thừa của 2, do đó chúng đều là số chẵn. Tổng của các số chẵn cũng là số chẵn, vì vậy \( a \) chắc chắn chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3:**

Để kiểm tra tính chia hết cho 3, ta xét tổng \( a \) modulo 3.

- \( 2 \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \)
- \( 2^3 \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( 2^4 \equiv 1 \pmod{3} \)
- \( 2^5 \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( 2^6 \equiv 1 \pmod{3} \)

Ta thấy rằng \( 2^n \) modulo 3 lặp lại theo chu kỳ 2, 1. Tổng \( a \) có 99 số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{100} \).

- Các số hạng \( 2^1, 2^3, 2^5, \ldots \) (50 số hạng) đều tương đương 2 modulo 3.
- Các số hạng \( 2^2, 2^4, 2^6, \ldots \) (50 số hạng) đều tương đương 1 modulo 3.

Tổng của các số hạng này modulo 3 là:
\[
50 \cdot 2 + 50 \cdot 1 = 100 + 50 = 150 \equiv 0 \pmod{3}
\]

Do đó, \( a \) chia hết cho 3.

Vì \( a \) chia hết cho cả 2 và 3, nên \( a \) chia hết cho 6.

### Chứng minh \( a \) chia hết cho 30

Số 30 có các ước nguyên tố là 2, 3 và 5. Chúng ta đã chứng minh \( a \) chia hết cho 2 và 3. Bây giờ, ta cần chứng minh \( a \) chia hết cho 5.

1. **Chia hết cho 5:**

Để kiểm tra tính chia hết cho 5, ta xét tổng \( a \) modulo 5.

- \( 2 \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( 2^2 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( 2^3 \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 2^4 \equiv 1 \pmod{5} \)
- \( 2^5 \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( 2^6 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( 2^7 \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 2^8 \equiv 1 \pmod{5} \)

Ta thấy rằng \( 2^n \) modulo 5 lặp lại theo chu kỳ 4: 2, 4, 3, 1. Tổng \( a \) có 99 số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{100} \).

- Mỗi chu kỳ 4 số hạng có tổng \( 2 + 4 + 3 + 1 = 10 \equiv 0 \pmod{5} \).

Tổng \( a \) có 25 chu kỳ đầy đủ (100 số hạng) và một số hạng còn lại \( 2^{100} \).

- \( 2^{100} \equiv (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{5} \)

Do đó, tổng của các chu kỳ đầy đủ là 0 và số hạng cuối cùng là 1. Tổng cuối cùng là:
\[
0 + 1 = 1 \equiv 0 \pmod{5}
\]

Điều này có nghĩa là \( a \) chia hết cho 5.

Vì \( a \) chia hết cho 2, 3 và 5, nên \( a \) chia hết cho 30.

### Kết luận

Tổng \( a = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho cả 6 và 30.