Để giải phương trình \( \frac{x + 2019}{x + 2018} = \frac{2036}{2035} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, nhân chéo để loại bỏ mẫu số:
\[
(x + 2019) \cdot 2035 = (x + 2018) \cdot 2036
\]

2. Triển khai và đơn giản hóa phương trình:
\[
2035x + 2035 \cdot 2019 = 2036x + 2036 \cdot 2018
\]

3. Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một vế và các hạng tử còn lại về vế kia:
\[
2035x - 2036x = 2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2019
\]

4. Đơn giản hóa phương trình:
\[
-x = 2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2019
\]

5. Tính giá trị của \( 2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2019 \):
\[
2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2019 = 2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2019
\]
\[
= 2036 \cdot 2018 - 2035 \cdot 2018 - 2035
\]
\[
= 2018 \cdot (2036 - 2035) - 2035
\]
\[
= 2018 - 2035
\]
\[
= -17
\]

6. Do đó, ta có:
\[
-x = -17 \implies x = 17
\]

Vậy, số tự nhiên \( x \) cần tìm là \( x = 17 \).