Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tổng của dãy số \( A \) được cho bởi:

\[ A = \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \frac{3}{11 \cdot 14} + \ldots + \frac{3}{2006 \cdot 2009} \]

Trước tiên, hãy xem xét một phân số tổng quát trong dãy:

\[ \frac{3}{n(n+3)} \]

Chúng ta có thể phân tích phân số này bằng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản:

\[ \frac{3}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3} \]

Để tìm \( A \) và \( B \), chúng ta giải phương trình:

\[ \frac{3}{n(n+3)} = \frac{A(n+3) + Bn}{n(n+3)} \]

Điều này dẫn đến:

\[ 3 = A(n+3) + Bn \]

Bây giờ, chúng ta so sánh các hệ số của \( n \):

\[ 3 = An + 3A + Bn \]

Từ đó, chúng ta có hệ phương trình:

\[ A + B = 0 \]
\[ 3A = 3 \]

Giải hệ phương trình này, ta được:

\[ A = 1 \]
\[ B = -1 \]

Do đó, phân số ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[ \frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \]

Áp dụng điều này vào tổng \( A \):

\[ A = \sum_{n=5, n \equiv 3 \pmod{3}}^{2006} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \]

Chúng ta nhận thấy rằng đây là một tổng dạng teleskoping (tổng lồng nhau), trong đó các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Cụ thể:

\[ A = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{14} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2006} - \frac{1}{2009} \right) \]

Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu, chỉ còn lại:

\[ A = \frac{1}{5} - \frac{1}{2009} \]

Do đó, tổng của dãy số là:

\[ A = \frac{1}{5} - \frac{1}{2009} \]

Kết quả cuối cùng là:

\[ A = \frac{1}{5} - \frac{1}{2009} \]

Chúng ta có thể tính giá trị này nếu cần thiết, nhưng đây là dạng đơn giản nhất của tổng.