Để chứng minh \( EH = EK \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), \( AB < CD \), \( AD + BC = CD \), và \( AD \) và \( BC \) kéo dài cắt nhau tại \( I \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và các đoạn thẳng liên quan:**
- \( E \) là giao điểm của đường phân giác của góc \( \angle DIC \) với \( DC \).
- \( EH \) vuông góc với \( AB \).
- \( EK \) vuông góc với \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất của đường phân giác:**
- Vì \( E \) nằm trên đường phân giác của góc \( \angle DIC \), theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{DE}{EC} = \frac{DI}{IC}
\]

3. **Xét tam giác \( \triangle DIC \):**
- Do \( AD + BC = DC \), ta có thể suy ra rằng \( I \) là điểm chia đoạn \( DC \) theo tỉ lệ \( \frac{DI}{IC} = \frac{AD}{BC} \).

4. **Sử dụng tính chất hình thang và đường vuông góc:**
- Do \( AB \parallel CD \), các đường vuông góc từ \( E \) đến \( AB \) và \( BC \) sẽ tạo thành các đoạn thẳng song song và bằng nhau. Cụ thể:
\[
EH \parallel EK
\]
- Vì \( EH \) và \( EK \) đều vuông góc với các cạnh song song của hình thang, và chúng đều xuất phát từ cùng một điểm \( E \) trên \( DC \), nên chúng có độ dài bằng nhau.

5. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
EH = EK
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( EH = EK \).