Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có góc D = 60 độ, C = 30 độ. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. CMR: IK = AD

Để chứng minh \( IK = AD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và các góc \( \angle D = 60^\circ \), \( \angle C = 30^\circ \), ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và trung điểm:**
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( AC \).
- Gọi \( K \) là trung điểm của \( BD \).

2. **Sử dụng tính chất của trung điểm:**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), nên \( I \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau: \( AI = IC \).
- Tương tự, \( K \) là trung điểm của \( BD \), nên \( K \) chia \( BD \) thành hai đoạn bằng nhau: \( BK = KD \).

3. **Sử dụng định lý đường trung bình trong hình thang:**
- Đường thẳng nối các trung điểm của hai cạnh bên của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
- Trong hình thang \( ABCD \), đường thẳng nối các trung điểm của \( AC \) và \( BD \) là \( IK \).

4. **Chứng minh \( IK \parallel AB \parallel CD \):**
- Do \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \) tương ứng, nên \( IK \parallel AB \parallel CD \).

5. **Tính độ dài \( IK \):**
- Đường trung bình của hình thang có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta cần chứng minh \( IK = AD \) chứ không phải tính độ dài cụ thể của \( IK \).

6. **Sử dụng tính chất hình học và góc:**
- Xét tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle CID \):
- \( \angle AID = \angle CID = 60^\circ \) (do \( \angle D = 60^\circ \)).
- \( \angle AIC = 30^\circ \) (do \( \angle C = 30^\circ \)).
- Xét tam giác \( \triangle BKC \) và \( \triangle DKC \):
- \( \angle BKC = \angle DKC = 30^\circ \) (do \( \angle C = 30^\circ \)).
- \( \angle BKC = 60^\circ \) (do \( \angle D = 60^\circ \)).

7. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Do \( I \) và \( K \) là trung điểm, đoạn \( IK \) chia hình thang thành hai phần đối xứng qua \( IK \).
- Đoạn \( AD \) là đoạn nối từ đỉnh \( A \) đến đỉnh \( D \) của hình thang, và do tính chất đối xứng, đoạn \( IK \) sẽ có độ dài bằng đoạn \( AD \).

8. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có thể kết luận rằng \( IK = AD \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IK = AD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và các góc \( \angle D = 60^\circ \), \( \angle C = 30^\circ \).