Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình thang, ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện của nó song song với nhau. Cụ thể, ta sẽ chứng minh rằng \(AB \parallel CD\) hoặc \(AD \parallel BC\).

Cho tứ giác \(ABCD\) với \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Đồng thời, ta có \(MN = \frac{AD + BC}{2}\).

Xét các vector:
- \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \)
- \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \)
- \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \)
- \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \)

Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), ta có:
- \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \)
- \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \)

Vector \( \overrightarrow{MN} \) được tính như sau:
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \frac{(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})}{2} \]

Theo giả thiết, ta có:
\[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

Điều này có nghĩa là:
\[ \left| \overrightarrow{MN} \right| = \left| \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2} \right| \]

Do đó:
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \(AB \parallel CD\) hoặc \(AD \parallel BC\).

Xét vector \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \):
\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{D} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \]

Nếu \(AB \parallel CD\), thì \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) phải cùng phương, tức là:
\[ \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{CD} \]
với \(k\) là một hằng số.

Tương tự, nếu \(AD \parallel BC\), thì \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) phải cùng phương, tức là:
\[ \overrightarrow{AD} = m \overrightarrow{BC} \]
với \(m\) là một hằng số.

Từ giả thiết \(MN = \frac{AD + BC}{2}\), ta có thể suy ra rằng \(AD\) và \(BC\) phải cùng phương, vì \(MN\) là trung bình cộng của hai vector này. Do đó, \(AD \parallel BC\).

Vậy, tứ giác \(ABCD\) là hình thang với \(AD \parallel BC\).