Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

1. \(\left| \frac{1}{5} - x \right| = \frac{1}{5}\)

Phương trình này có hai trường hợp:
- \(\frac{1}{5} - x = \frac{1}{5}\)
- \(\frac{1}{5} - x = -\frac{1}{5}\)

Trường hợp 1:
\[
\frac{1}{5} - x = \frac{1}{5} \implies x = 0
\]

Trường hợp 2:
\[
\frac{1}{5} - x = -\frac{1}{5} \implies \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = x \implies x = \frac{2}{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình này là \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\).

2. \(\left| 2x - 1 \right| + \frac{5}{6} = \frac{7}{4}\)

Đầu tiên, ta trừ \(\frac{5}{6}\) từ cả hai vế:
\[
\left| 2x - 1 \right| = \frac{7}{4} - \frac{5}{6}
\]

Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{7}{4} = \frac{21}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\]

Vậy:
\[
\left| 2x - 1 \right| = \frac{21}{12} - \frac{10}{12} = \frac{11}{12}
\]

Phương trình này có hai trường hợp:
- \(2x - 1 = \frac{11}{12}\)
- \(2x - 1 = -\frac{11}{12}\)

Trường hợp 1:
\[
2x - 1 = \frac{11}{12} \implies 2x = \frac{11}{12} + 1 = \frac{11}{12} + \frac{12}{12} = \frac{23}{12} \implies x = \frac{23}{24}
\]

Trường hợp 2:
\[
2x - 1 = -\frac{11}{12} \implies 2x = -\frac{11}{12} + 1 = -\frac{11}{12} + \frac{12}{12} = \frac{1}{12} \implies x = \frac{1}{24}
\]

Vậy nghiệm của phương trình này là \(x = \frac{23}{24}\) hoặc \(x = \frac{1}{24}\).

3. \(8 - \left| 1 - 3x \right| = 1\)

Đầu tiên, ta trừ 1 từ cả hai vế:
\[
8 - \left| 1 - 3x \right| = 1 \implies \left| 1 - 3x \right| = 7
\]

Phương trình này có hai trường hợp:
- \(1 - 3x = 7\)
- \(1 - 3x = -7\)

Trường hợp 1:
\[
1 - 3x = 7 \implies -3x = 6 \implies x = -2
\]

Trường hợp 2:
\[
1 - 3x = -7 \implies -3x = -8 \implies x = \frac{8}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình này là \(x = -2\) hoặc \(x = \frac{8}{3}\).

Tóm lại, các nghiệm của các phương trình là:
1. \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\)
2. \(x = \frac{23}{24}\) hoặc \(x = \frac{1}{24}\)
3. \(x = -2\) hoặc \(x = \frac{8}{3}\)