Để giải các phương trình trong bài tập này, ta sẽ lần lượt giải từng phương trình một.

a) \(\sqrt{2x + 1} = 4\)

Bình phương hai vế của phương trình:
\[ (\sqrt{2x + 1})^2 = 4^2 \]
\[ 2x + 1 = 16 \]
\[ 2x = 15 \]
\[ x = \frac{15}{2} \]

b) \(\sqrt{2x - 9} = x - 6\)

Bình phương hai vế của phương trình:
\[ (\sqrt{2x - 9})^2 = (x - 6)^2 \]
\[ 2x - 9 = x^2 - 12x + 36 \]
\[ x^2 - 14x + 45 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ x = \frac{14 \pm 4}{2} \]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{18}{2} = 9 \]
\[ x = \frac{10}{2} = 5 \]

Kiểm tra lại nghiệm:
- Với \(x = 9\):
\[ \sqrt{2 \cdot 9 - 9} = 9 - 6 \]
\[ \sqrt{9} = 3 \]
\[ 3 = 3 \] (Đúng)

- Với \(x = 5\):
\[ \sqrt{2 \cdot 5 - 9} = 5 - 6 \]
\[ \sqrt{1} = -1 \]
\[ 1 \neq -1 \] (Sai)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 9\).

c) \(x + \sqrt{2x + 3} = 6\)

Chuyển \(x\) sang vế phải:
\[ \sqrt{2x + 3} = 6 - x \]

Bình phương hai vế của phương trình:
\[ (\sqrt{2x + 3})^2 = (6 - x)^2 \]
\[ 2x + 3 = 36 - 12x + x^2 \]
\[ x^2 - 14x + 33 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 132}}{2} \]
\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ x = \frac{14 \pm 8}{2} \]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{22}{2} = 11 \]
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]

Kiểm tra lại nghiệm:
- Với \(x = 11\):
\[ 11 + \sqrt{2 \cdot 11 + 3} = 6 \]
\[ 11 + \sqrt{25} = 6 \]
\[ 11 + 5 = 6 \]
\[ 16 \neq 6 \] (Sai)

- Với \(x = 3\):
\[ 3 + \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 6 \]
\[ 3 + \sqrt{9} = 6 \]
\[ 3 + 3 = 6 \]
\[ 6 = 6 \] (Đúng)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).

d) \(2x + \sqrt{3x + 7} = 0\)

Chuyển \(2x\) sang vế phải:
\[ \sqrt{3x + 7} = -2x \]

Bình phương hai vế của phương trình:
\[ (\sqrt{3x + 7})^2 = (-2x)^2 \]
\[ 3x + 7 = 4x^2 \]
\[ 4x^2 - 3x - 7 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7)}}{2 \cdot 4} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{8} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{8} \]
\[ x = \frac{3 \pm 11}{8} \]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \]
\[ x = \frac{-8}{8} = -1 \]

Kiểm tra lại nghiệm:
- Với \(x = \frac{7}{4}\):
\[ 2 \cdot \frac{7}{4} + \sqrt{3 \cdot \frac{7}{4} + 7} = 0 \]
\[ \frac{14}{4} + \sqrt{\frac{21}{4} + 7} = 0 \]
\[ \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{21 + 28}{4}} = 0 \]
\[ \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{49}{4}} = 0 \]
\[ \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 0 \]
\[ 7 \neq 0 \] (Sai)

- Với \(x = -1\):
\[ 2 \cdot (-1) + \sqrt{3 \cdot (-1) + 7} = 0 \]
\[ -2 + \sqrt{-3 + 7} = 0 \]
\[ -2 + \sqrt{4} = 0 \]
\[ -2 + 2 = 0 \]
\[ 0 = 0 \] (Đúng)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -1\).