Để chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm, chúng ta sẽ sử dụng định lý trung điểm và một số tính chất hình học cơ bản.

Giả sử tứ giác \(ABCD\) có các đỉnh \(A, B, C, D\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD,\) và \(DA\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Chúng ta cần chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm.

1. **Xác định trung điểm của các đường chéo:**
Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\).

2. **Xác định các đoạn nối trung điểm các cạnh đối:**
- Đoạn nối trung điểm các cạnh đối \(AB\) và \(CD\) là đoạn \(MP\).
- Đoạn nối trung điểm các cạnh đối \(BC\) và \(DA\) là đoạn \(NQ\).

3. **Sử dụng định lý trung điểm:**
Theo định lý trung điểm trong tứ giác, đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của một tứ giác là song song với đường thẳng nối hai đỉnh còn lại và bằng nửa độ dài của đoạn thẳng đó.

- Đoạn \(MP\) nối trung điểm \(M\) của \(AB\) và trung điểm \(P\) của \(CD\), nên \(MP\) song song với \(BD\) và \(MP = \frac{1}{2} BD\).
- Đoạn \(NQ\) nối trung điểm \(N\) của \(BC\) và trung điểm \(Q\) của \(DA\), nên \(NQ\) song song với \(AC\) và \(NQ = \frac{1}{2} AC\).

4. **Xét giao điểm của các đoạn thẳng:**
- Đoạn \(EF\) nối trung điểm \(E\) của \(AC\) và trung điểm \(F\) của \(BD\), nên \(EF\) song song với \(MP\) và \(NQ\).

Do \(MP\) và \(NQ\) đều song song với \(EF\), nên chúng phải cắt nhau tại một điểm duy nhất. Gọi điểm này là \(G\).

5. **Kết luận:**
Điểm \(G\) là giao điểm của đoạn nối trung điểm hai đường chéo \(EF\) và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối \(MP\) và \(NQ\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác gặp nhau tại một điểm.