Để chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác \( \triangle ABO \) và \( \triangle CDO \) bằng tổng diện tích của hai tam giác \( \triangle BCO \) và \( \triangle DAO \), ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và diện tích tam giác.

Giả sử \( ABCD \) là hình bình hành với \( O \) là một điểm nằm trong hình bình hành.

1. **Diện tích của tam giác trong hình bình hành:**

- Diện tích của tam giác \( \triangle ABO \) là \( S_{ABO} \).
- Diện tích của tam giác \( \triangle CDO \) là \( S_{CDO} \).
- Diện tích của tam giác \( \triangle BCO \) là \( S_{BCO} \).
- Diện tích của tam giác \( \triangle DAO \) là \( S_{DAO} \).

2. **Tổng diện tích của các tam giác:**

Tổng diện tích của các tam giác \( \triangle ABO \), \( \triangle BCO \), \( \triangle CDO \), và \( \triangle DAO \) bằng diện tích của hình bình hành \( ABCD \).

\[
S_{ABO} + S_{BCO} + S_{CDO} + S_{DAO} = S_{ABCD}
\]

3. **Chia hình bình hành thành hai phần:**

- Xét hai tam giác \( \triangle ABO \) và \( \triangle CDO \). Tổng diện tích của hai tam giác này là:

\[
S_{ABO} + S_{CDO}
\]

- Xét hai tam giác \( \triangle BCO \) và \( \triangle DAO \). Tổng diện tích của hai tam giác này là:

\[
S_{BCO} + S_{DAO}
\]

4. **Sử dụng tính chất của hình bình hành:**

Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Giả sử \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Khi đó, \( O \) là trung điểm của cả \( AC \) và \( BD \).

Do đó, các tam giác \( \triangle AOB \), \( \triangle BOC \), \( \triangle COD \), và \( \triangle DOA \) có diện tích bằng nhau khi \( O \) là trung điểm của các đường chéo.

5. **Kết luận:**

Vì \( O \) là trung điểm của các đường chéo, nên diện tích của các tam giác \( \triangle AOB \), \( \triangle BOC \), \( \triangle COD \), và \( \triangle DOA \) bằng nhau. Do đó, ta có:

\[
S_{ABO} + S_{CDO} = S_{BCO} + S_{DAO}
\]

Điều này chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác \( \triangle ABO \) và \( \triangle CDO \) bằng tổng diện tích của hai tam giác \( \triangle BCO \) và \( \triangle DAO \).