Cho hình bình hành \(ABCD\); \(I\) thuộc \(AC\); \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(CB\) tại \(N\).

### a) So sánh \(\frac{AM}{AB}\); \(\frac{CB}{CN}\); \(\frac{DM}{DN}\)

Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có các tính chất sau:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- \(AB = CD\) và \(AD = BC\).

Xét tam giác \(ABD\) và đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(BC\) tại \(N\).

Do \(I\) thuộc \(AC\), nên \(I\) nằm trên đường chéo của hình bình hành. Đường chéo của hình bình hành chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau. Do đó, \(I\) chia \(AC\) theo tỉ lệ nào đó.

Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(BC\) tại \(N\). Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} \cdot \frac{DI}{IA} = 1
\]

Do \(AB = CD\) và \(AD = BC\), ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{DM}{DN}
\]

### b) Chứng minh \(CM \cdot AM \cdot CN\) không đổi

Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(BC\) tại \(N\). Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} \cdot \frac{DI}{IA} = 1
\]

Do \(AB = CD\) và \(AD = BC\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} = 1
\]

Từ đó suy ra:
\[
AM \cdot BN = MB \cdot ND
\]

Do \(M\) và \(N\) chia \(AB\) và \(BC\) theo tỉ lệ tương ứng, ta có:
\[
AM \cdot CN = MB \cdot ND
\]

Vì \(AB = CD\) và \(AD = BC\), ta có:
\[
AM \cdot CN = MB \cdot ND
\]

Do đó, \(CM \cdot AM \cdot CN\) là một hằng số không đổi.

### c) Chứng minh \(DI^2 = IM \cdot IN\)

Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\) cắt \(AB\) tại \(M\) và \(BC\) tại \(N\). Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(DI\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} \cdot \frac{DI}{IA} = 1
\]

Do \(AB = CD\) và \(AD = BC\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} = 1
\]

Từ đó suy ra:
\[
AM \cdot BN = MB \cdot ND
\]

Do đó, ta có:
\[
DI^2 = IM \cdot IN
\]

Điều này chứng tỏ rằng \(DI^2 = IM \cdot IN\).