Để tính tổng số chữ số cần dùng để đánh số các trang của quyển sách từ trang 3 đến trang 137, ta có thể chia thành các đoạn như sau:

1. **Từ trang 3 đến trang 9**:
- Có 7 trang (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
- Mỗi trang dùng 1 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(7 \times 1 = 7\) chữ số.

2. **Từ trang 10 đến trang 99**:
- Có \(99 - 10 + 1 = 90\) trang.
- Mỗi trang dùng 2 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(90 \times 2 = 180\) chữ số.

3. **Từ trang 100 đến trang 137**:
- Có \(137 - 100 + 1 = 38\) trang.
- Mỗi trang dùng 3 chữ số.
- Tổng số chữ số: \(38 \times 3 = 114\) chữ số.

Cuối cùng, tổng số chữ số cần dùng để đánh số các trang từ 3 đến 137 là:
\[7 + 180 + 114 = 301\]

Vậy cần dùng tất cả 301 chữ số để đánh hết số trang của quyển sách.