Cho biểu thức P = ((√(x + 4√(x - 4)) + √(x - 4√(x - 4)))/√(1 - 8/x + 16/x^2)

Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu:
\[ P = \frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} + \sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}}{\sqrt{1 - \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}} \]

#### Bước 1: Rút gọn phần tử số
Đặt \( t = \sqrt{x - 4} \), khi đó:
\[ x = t^2 + 4 \]
Biểu thức tử số trở thành:
\[ \sqrt{t^2 + 4 + 4t} + \sqrt{t^2 + 4 - 4t} \]

Ta có:
\[ \sqrt{t^2 + 4 + 4t} = \sqrt{(t + 2)^2} = |t + 2| \]
\[ \sqrt{t^2 + 4 - 4t} = \sqrt{(t - 2)^2} = |t - 2| \]

Vì \( t = \sqrt{x - 4} \geq 0 \), nên:
\[ |t + 2| = t + 2 \]
\[ |t - 2| = 2 - t \] (vì \( t \leq 2 \))

Do đó:
\[ \sqrt{t^2 + 4 + 4t} + \sqrt{t^2 + 4 - 4t} = (t + 2) + (2 - t) = 4 \]

#### Bước 2: Rút gọn phần mẫu số
Biểu thức mẫu số:
\[ \sqrt{1 - \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}} \]

Thay \( x = t^2 + 4 \) vào:
\[ 1 - \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2} \]

Ta có:
\[ \frac{8}{t^2 + 4} = \frac{8}{t^2 + 4} \]
\[ \frac{16}{(t^2 + 4)^2} = \frac{16}{(t^2 + 4)^2} \]

Biểu thức trở thành:
\[ \sqrt{1 - \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}} = \sqrt{\left(1 - \frac{4}{t^2 + 4}\right)^2} = \left|1 - \frac{4}{t^2 + 4}\right| \]

Vì \( t^2 + 4 \geq 4 \), nên:
\[ 1 - \frac{4}{t^2 + 4} \geq 0 \]
Do đó:
\[ \left|1 - \frac{4}{t^2 + 4}\right| = 1 - \frac{4}{t^2 + 4} \]

#### Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số
Biểu thức \( P \) trở thành:
\[ P = \frac{4}{1 - \frac{4}{t^2 + 4}} = \frac{4}{\frac{t^2}{t^2 + 4}} = \frac{4(t^2 + 4)}{t^2} = 4 + \frac{16}{t^2} = 4 + \frac{16}{x - 4} \]

### b. Tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) có giá trị nguyên
Để \( P \) có giá trị nguyên, thì \( 4 + \frac{16}{x - 4} \) phải là số nguyên.

Đặt \( k = x - 4 \), khi đó:
\[ P = 4 + \frac{16}{k} \]

Để \( P \) là số nguyên, thì \( \frac{16}{k} \) phải là số nguyên, tức là \( k \) phải là ước của 16. Các ước của 16 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16 \).

Với mỗi giá trị \( k \), ta tính \( x \):
- \( k = 1 \Rightarrow x = 5 \)
- \( k = -1 \Rightarrow x = 3 \)
- \( k = 2 \Rightarrow x = 6 \)
- \( k = -2 \Rightarrow x = 2 \)
- \( k = 4 \Rightarrow x = 8 \)
- \( k = -4 \Rightarrow x = 0 \)
- \( k = 8 \Rightarrow x = 12 \)
- \( k = -8 \Rightarrow x = -4 \)
- \( k = 16 \Rightarrow x = 20 \)
- \( k = -16 \Rightarrow x = -12 \)

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) có giá trị nguyên là:
\[ x = -12, -4, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 12, 20 \]