Dưới đây là lời giải cho các phương trình:

a) \((x-2)^2 + 3 = x + 1\)

Giải:
\[
(x-2)^2 + 3 = x + 1
\]
\[
(x-2)^2 = x + 1 - 3
\]
\[
(x-2)^2 = x - 2
\]
\[
(x-2)^2 - (x-2) = 0
\]
\[
(x-2)(x-2-1) = 0
\]
\[
(x-2)(x-3) = 0
\]
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 3\).

b) \((2x^2 + 3)^2 - 10x^3 - 15x = 0\)

Giải:
\[
(2x^2 + 3)^2 - 10x^3 - 15x = 0
\]
Đây là phương trình bậc cao và phức tạp, cần sử dụng phương pháp phân tích hoặc công cụ tính toán để giải.

c) \(x^2 + x = 5x - 3\)

Giải:
\[
x^2 + x = 5x - 3
\]
\[
x^2 + x - 5x + 3 = 0
\]
\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]
\[
(x-1)(x-3) = 0
\]
Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = 3\).

d) \((x-3)(x^2 + 3x - 1) = 0\)

Giải:
\[
(x-3)(x^2 + 3x - 1) = 0
\]
\[
x-3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 3x - 1 = 0
\]
Vậy \(x = 3\) hoặc giải phương trình bậc hai:
\[
x^2 + 3x - 1 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
Vậy nghiệm là \(x = 3\), \(x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\), hoặc \(x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\).

e) \(x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0\)

Giải:
Sử dụng phương pháp phân tích hoặc công cụ tính toán để giải phương trình bậc ba này.

f) \(x^4 - 6x^2 - 7 = 0\)

Giải:
Đặt \(y = x^2\), ta có:
\[
y^2 - 6y - 7 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}
\]
\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}
\]
\[
y = \frac{6 \pm 8}{2}
\]
\[
y = 7 \quad \text{hoặc} \quad y = -1
\]
Vì \(y = x^2\), nên:
\[
x^2 = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{7}
\]
\[
x^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm i \quad (\text{không có nghiệm thực})
\]
Vậy nghiệm là \(x = \pm \sqrt{7}\).