Để tính \( x \) và \( y \) trong mỗi trường hợp, chúng ta cần sử dụng các định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông và tam giác thường.

### Hình 4:
Trong hình 4, tam giác \( \triangle ABC \) có \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta có:
\[ BH = 1, HC = 4 \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABH \):
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ x^2 = y^2 + 1^2 \]
\[ x^2 = y^2 + 1 \quad (1) \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle AHC \):
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ (x + 4)^2 = y^2 + 4^2 \]
\[ x^2 + 8x + 16 = y^2 + 16 \]
\[ x^2 + 8x = y^2 \quad (2) \]

Từ (1) và (2):
\[ x^2 = y^2 + 1 \]
\[ x^2 + 8x = y^2 \]
\[ y^2 = x^2 - 1 \]
\[ x^2 + 8x = x^2 - 1 \]
\[ 8x = -1 \]
\[ x = -\frac{1}{8} \]

Thay \( x = -\frac{1}{8} \) vào (1):
\[ \left(-\frac{1}{8}\right)^2 = y^2 + 1 \]
\[ \frac{1}{64} = y^2 + 1 \]
\[ y^2 = \frac{1}{64} - 1 \]
\[ y^2 = -\frac{63}{64} \]

Điều này không có nghĩa, có thể có lỗi trong tính toán hoặc đề bài có lỗi.

### Hình 5:
Trong hình 5, tam giác \( \triangle ABC \) có \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta có:
\[ AB = 13, BH = x, HC = y \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABH \):
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ 13^2 = AH^2 + x^2 \]
\[ 169 = AH^2 + x^2 \quad (1) \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle AHC \):
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ AC^2 = AH^2 + y^2 \]
\[ AC = \sqrt{AH^2 + y^2} \]

Do \( AC = AB \) vì \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \):
\[ 13 = \sqrt{AH^2 + y^2} \]
\[ 169 = AH^2 + y^2 \quad (2) \]

Từ (1) và (2):
\[ 169 = AH^2 + x^2 \]
\[ 169 = AH^2 + y^2 \]
\[ x^2 = y^2 \]
\[ x = y \]

### Hình 6:
Trong hình 6, tam giác \( \triangle ABC \) có \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta có:
\[ BH = 4, HC = x \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABH \):
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ 5^2 = AH^2 + 4^2 \]
\[ 25 = AH^2 + 16 \]
\[ AH^2 = 9 \]
\[ AH = 3 \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle AHC \):
\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ y^2 = 3^2 + x^2 \]
\[ y^2 = 9 + x^2 \]

Vậy:
\[ y = \sqrt{9 + x^2} \]

Tóm lại:
- Hình 4: Kết quả không hợp lý, có thể có lỗi trong đề bài hoặc tính toán.
- Hình 5: \( x = y \)
- Hình 6: \( y = \sqrt{9 + x^2} \)