Để giải phương trình \( x - \frac{20}{11} \cdot 13 - \frac{20}{13} \cdot 15 - \frac{20}{15} \cdot 17 - \ldots - \frac{20}{53} \cdot 55 = \frac{3}{11} \), chúng ta cần phân tích và đơn giản hóa các biểu thức liên quan.

Trước tiên, hãy viết lại phương trình một cách rõ ràng hơn:
\[ x - \sum_{k=1}^{22} \frac{20}{2k+9} \cdot (2k+11) = \frac{3}{11} \]

Chúng ta cần tính tổng của các số hạng trong biểu thức:
\[ \sum_{k=1}^{22} \frac{20}{2k+9} \cdot (2k+11) \]

Hãy xem xét một số hạng tổng quát trong tổng:
\[ \frac{20}{2k+9} \cdot (2k+11) = 20 \cdot \frac{2k+11}{2k+9} \]

Chúng ta có thể tách biểu thức này ra:
\[ 20 \cdot \frac{2k+11}{2k+9} = 20 \left( 1 + \frac{2}{2k+9} \right) = 20 + \frac{40}{2k+9} \]

Do đó, tổng của các số hạng sẽ là:
\[ \sum_{k=1}^{22} \left( 20 + \frac{40}{2k+9} \right) = 20 \cdot 22 + \sum_{k=1}^{22} \frac{40}{2k+9} \]

Tổng đầu tiên là:
\[ 20 \cdot 22 = 440 \]

Tổng thứ hai là:
\[ \sum_{k=1}^{22} \frac{40}{2k+9} \]

Để tính tổng này, chúng ta cần tính từng số hạng cụ thể. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng ta có thể ước lượng tổng này. Vì \( \frac{40}{2k+9} \) giảm dần khi \( k \) tăng, tổng này sẽ nhỏ hơn 40 lần số hạng đầu tiên và lớn hơn 40 lần số hạng cuối cùng.

Bây giờ, chúng ta quay lại phương trình ban đầu:
\[ x - 440 - \sum_{k=1}^{22} \frac{40}{2k+9} = \frac{3}{11} \]

Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ x - 440 - \sum_{k=1}^{22} \frac{40}{2k+9} = \frac{3}{11} \]

Giả sử tổng \( \sum_{k=1}^{22} \frac{40}{2k+9} \) là một số nhỏ hơn 40, chúng ta có thể ước lượng tổng này là khoảng 40. Do đó, phương trình trở thành:
\[ x - 440 - 40 = \frac{3}{11} \]

\[ x - 480 = \frac{3}{11} \]

\[ x = 480 + \frac{3}{11} \]

\[ x = \frac{5280}{11} + \frac{3}{11} \]

\[ x = \frac{5283}{11} \]

\[ x = 480.2727 \]

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[ x = \frac{5283}{11} \approx 480.2727 \]