Để phân tích đa thức \(27x^3 + 27x^2 + 3x + 1\) thành nhân tử, ta có thể thử nhóm các hạng tử lại và tìm nhân tử chung.

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử lại:
\[27x^3 + 27x^2 + 3x + 1 = (27x^3 + 27x^2) + (3x + 1)\]

Tiếp theo, ta tìm nhân tử chung của từng nhóm:
\[27x^2(x + 1) + 1(3x + 1)\]

Ta thấy rằng các nhóm này không có nhân tử chung rõ ràng. Vì vậy, ta sẽ thử phương pháp khác, chẳng hạn như sử dụng phương pháp Horner hoặc kiểm tra các nghiệm của đa thức.

Để kiểm tra các nghiệm của đa thức, ta có thể sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ. Định lý này nói rằng nếu \( \frac{p}{q} \) là một nghiệm của đa thức với hệ số nguyên, thì \( p \) là ước của hệ số tự do (1) và \( q \) là ước của hệ số cao nhất (27).

Các ước của 1 là: ±1
Các ước của 27 là: ±1, ±3, ±9, ±27

Ta thử các nghiệm có thể có:
- Thử \( x = -1 \):
\[27(-1)^3 + 27(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -27 + 27 - 3 + 1 = -2 \neq 0\]

- Thử \( x = 1 \):
\[27(1)^3 + 27(1)^2 + 3(1) + 1 = 27 + 27 + 3 + 1 = 58 \neq 0\]

- Thử \( x = -\frac{1}{3} \):
\[27\left(-\frac{1}{3}\right)^3 + 27\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = 27\left(-\frac{1}{27}\right) + 27\left(\frac{1}{9}\right) - 1 + 1 = -1 + 3 - 1 + 1 = 2 \neq 0\]

- Thử \( x = \frac{1}{3} \):
\[27\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 27\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = 27\left(\frac{1}{27}\right) + 27\left(\frac{1}{9}\right) + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 + 1 = 6 \neq 0\]

Vì không có nghiệm hữu tỉ nào thỏa mãn, ta có thể kết luận rằng đa thức này không thể phân tích thành nhân tử bằng các phương pháp đơn giản.