Để tính giá trị của biểu thức \( F \) tại \( x = -\frac{3}{4} \) và \( y = 4 \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức \( F \) được cho là:
\[ F = 84(x^2 y^4)^2 : 14x^2 y^6 \]

Trước tiên, ta thay giá trị \( x = -\frac{3}{4} \) và \( y = 4 \) vào biểu thức.

1. Tính \( x^2 \):
\[ x^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]

2. Tính \( y^4 \):
\[ y^4 = 4^4 = 256 \]

3. Tính \( (x^2 y^4)^2 \):
\[ (x^2 y^4)^2 = \left(\frac{9}{16} \times 256\right)^2 = \left(\frac{9}{16} \times 256\right)^2 = (144)^2 = 20736 \]

4. Tính \( x^2 y^6 \):
\[ y^6 = 4^6 = 4096 \]
\[ x^2 y^6 = \frac{9}{16} \times 4096 = 2304 \]

5. Thay vào biểu thức \( F \):
\[ F = \frac{84 \times 20736}{14 \times 2304} \]

6. Tính giá trị:
\[ F = \frac{84 \times 20736}{14 \times 2304} = \frac{84 \times 20736}{32256} = \frac{84}{14} \times \frac{20736}{2304} = 6 \times 9 = 54 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( F \) tại \( x = -\frac{3}{4} \) và \( y = 4 \) là \( 54 \).