Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B. Gọi E thuộc tia đối tia HA sao cho DE vuông góc với EC. Gọi K là trung điểm của CD

Để chứng minh tam giác \(HCE\) đồng dạng với tam giác \(ACD\), ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và các định lý về tam giác vuông và đường cao.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\).
- Điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\), do đó \(AB = BD\) và \(AD\) là đường trung trực của \(B\).
- Điểm \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\) sao cho \(DE \perp EC\).
- Điểm \(K\) là trung điểm của \(CD\).

2. **Chứng minh các góc bằng nhau:**
- Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Vì \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\), nên \(AB = BD\) và \(AD\) là đường trung trực của \(B\).
- Do đó, \( \angle DBC = \angle ABC \).
- Vì \(DE \perp EC\), ta có \( \angle DEC = 90^\circ \).

3. **Sử dụng tính chất đường cao:**
- Đường cao \(AH\) của tam giác vuông \(ABC\) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \(AHE\) và \(AHC\).
- Vì \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\), nên \(E\) nằm trên đường thẳng kéo dài của \(AH\).

4. **Chứng minh đồng dạng:**
- Xét tam giác \(HCE\) và tam giác \(ACD\):
- Ta có \( \angle HCE = \angle ACD \) (vì \(DE \perp EC\) và \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\)).
- Ta có \( \angle HEC = \angle ADC \) (vì \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\) và \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\)).
- Ta có \( \angle EHC = \angle DAC \) (vì \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\) và \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\)).

5. **Kết luận:**
- Từ các góc bằng nhau, ta có tam giác \(HCE\) đồng dạng với tam giác \(ACD\) theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA).

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác \(HCE\) đồng dạng với tam giác \(ACD\).