Để giải các phương trình sau, ta cần thực hiện các bước biến đổi đại số để tìm giá trị của \( x \). Dưới đây là các bước giải cho từng phương trình:

a. \(\frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x-2}\)

Bước 1: Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:
\[ x(x-2) = (x-1)(x+1) \]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa:
\[ x^2 - 2x = x^2 + x - 1x - 1 \]
\[ x^2 - 2x = x^2 - 1 \]

Bước 3: Loại bỏ \( x^2 \) ở cả hai vế:
\[ -2x = -1 \]

Bước 4: Giải \( x \):
\[ x = \frac{1}{2} \]

b. \(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-2}{x} = 2\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x(x+3) + (x-2)(x-3)}{x(x-3)} = 2 \]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa:
\[ \frac{x^2 + 3x + x^2 - 5x + 6}{x(x-3)} = 2 \]
\[ \frac{2x^2 - 2x + 6}{x(x-3)} = 2 \]

Bước 3: Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:
\[ 2x^2 - 2x + 6 = 2x(x-3) \]
\[ 2x^2 - 2x + 6 = 2x^2 - 6x \]

Bước 4: Loại bỏ \( 2x^2 \) ở cả hai vế:
\[ -2x + 6 = -6x \]

Bước 5: Giải \( x \):
\[ 6x - 2x = 6 \]
\[ 4x = 6 \]
\[ x = \frac{3}{2} \]

c. \(\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{3(x+1) + 2(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa:
\[ \frac{3x + 3 + 2x - 4}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \]
\[ \frac{5x - 1}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} \]

Bước 3: So sánh tử số:
\[ 5x - 1 = 2x + 5 \]

Bước 4: Giải \( x \):
\[ 5x - 2x = 5 + 1 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = 2 \]

d. \(\frac{x}{x-3} + \frac{x}{x+1} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)}\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x(x+1) + x(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)} \]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa:
\[ \frac{x^2 + x + x^2 - 3x}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x-3)(x+1)} \]
\[ \frac{2x^2 - 2x}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x-3)(x+1)} \]

Bước 3: So sánh tử số:
\[ 2x^2 - 2x = 4x \]

Bước 4: Giải \( x \):
\[ 2x^2 - 2x - 4x = 0 \]
\[ 2x^2 - 6x = 0 \]
\[ 2x(x - 3) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = 3 \]

e. \(\frac{2}{x+1} + \frac{1}{x-2} = \frac{3}{(x+1)(x-2)}\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{2(x-2) + 1(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa:
\[ \frac{2x - 4 + x + 1}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \]
\[ \frac{3x - 3}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{(x+1)(x-2)} \]

Bước 3: So sánh tử số:
\[ 3x - 3 = 3 \]

Bước 4: Giải \( x \):
\[ 3x - 3 = 3 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = 2 \]

Tóm lại, các nghiệm của các phương trình là:
a. \( x = \frac{1}{2} \)
b. \( x = \frac{3}{2} \)
c. \( x = 2 \)
d. \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \)
e. \( x = 2 \)