Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và M là trung điểm của OC. Gọi P là điểm đối xứng với B qua M

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu:

1. **Chứng minh tứ giác CBOP là hình bình hành:**

- Ta có \( M \) là trung điểm của \( OC \), do đó \( OM = MC \).
- Điểm \( P \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \), do đó \( M \) cũng là trung điểm của \( BP \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( OC \) và \( BP \), ta có \( OM = MC \) và \( MB = MP \).
- Trong tứ giác \( CBOP \), ta có \( OM = MC \) và \( MB = MP \), do đó \( CBOP \) là hình bình hành.

2. **Chứng minh \( OM = \frac{1}{2} DP \):**

- Ta đã biết \( M \) là trung điểm của \( OC \), do đó \( OM = \frac{1}{2} OC \).
- Vì \( P \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \), ta có \( DP = 2OM \).
- Do đó, \( OM = \frac{1}{2} DP \).

3. **Chứng minh tứ giác AMPD là hình thang:**

- Ta có \( A, M, P, D \) nằm trên cùng một mặt phẳng.
- Ta cần chứng minh \( AM \parallel PD \) hoặc \( AP \parallel MD \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( OC \) và \( P \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( M \), ta có \( AM \parallel PD \).
- Do đó, tứ giác \( AMPD \) là hình thang.

4. **Chứng minh \( OP \) vuông góc với \( DC \) tại \( I \):**

- Gọi \( I \) là giao điểm của \( OP \) và \( DC \).
- Vì \( O \) là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật \( ABCD \), \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \).
- Do đó, \( OP \) là đường trung trực của \( DC \), nên \( OP \) vuông góc với \( DC \) tại \( I \).

5. **Chứng minh ba điểm \( K, I, M \) thẳng hàng:**

- Gọi \( K \) là hình chiếu của \( P \) trên đường thẳng \( AD \).
- Ta cần chứng minh \( K, I, M \) thẳng hàng.
- Vì \( P \) đối xứng với \( B \) qua \( M \), \( P \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AD \) tại \( K \).
- Do đó, \( K, I, M \) thẳng hàng.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu của bài toán.