Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu của đề bài:

**a. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Tính độ dài NH, CosMPN**

1. **Chứng minh tam giác MNP vuông tại M:**

Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác MNP:
\[
MN^2 + MP^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = NP^2
\]
Do đó, tam giác MNP vuông tại M.

2. **Tính độ dài NH:**

Vì tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH từ M vuông góc với NP, nên:
\[
MH = \frac{MN \cdot MP}{NP} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính CosMPN:**

Trong tam giác vuông MNP, CosMPN là:
\[
\cos(\angle MPN) = \frac{MP}{NP} = \frac{8}{10} = 0.8
\]

**b. Chứng minh ba điểm E, M, F thẳng hàng:**

Đường tròn tâm M bán kính MH, các tiếp tuyến NE và PF tiếp xúc với đường tròn tại E và F. Vì E và F là các điểm tiếp xúc, nên các tiếp tuyến tại E và F đều vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, các đường thẳng ME và MF đều vuông góc với các tiếp tuyến NE và PF tại E và F.

Vì E và F là các điểm tiếp xúc, nên các đường thẳng ME và MF đều nằm trên cùng một đường thẳng, tức là ba điểm E, M, F thẳng hàng.

**c. Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính NP:**

Đường tròn đường kính NP có tâm là trung điểm của NP, gọi là O. Đường kính NP là 10 cm, nên bán kính của đường tròn này là 5 cm.

Vì E và F là các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến NE và PF với đường tròn tâm M, bán kính MH, nên EF là một đoạn thẳng nối hai điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến. Do đó, EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính NP.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của đề bài.