a/ Ta có BD = CE (đề bài) và tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Khi đó, ta có:
∠ABD = ∠ACE (cùng phụ bù với ∠BAC)
∠ADE = ∠AEC (cùng phụ bù với ∠EAC)
Vậy tam giác ADE cân tại A.

b/ Ta có BH vuông góc AD và CK vuông góc AE, từ đó suy ra BH = CK (cùng là đường cao của tam giác ADE).
Gọi O là giao điểm của BH và CK, ta có ∠BHO = ∠CKO = 90° nên tứ giác BCKO là hình chữ nhật, do đó HK // BC.

c/ Tam giác OBC là tam giác vuông tại O vì ∠BHO = ∠CKO = 90°.

d/ Ta có M là trung điểm BC nên AM song song với DE (do tam giác ADE cân tại A), từ đó suy ra AM, BH, CK đồng quy.

Bài 2:
a/ Vẽ hình như sau:
\[
\begin{array}{c}
A \\
| \\
H--B--I \\
| \\
C--K
\end{array}
\]

b/ Ta có AH vuông góc BC và AK vuông góc BC, nên AH = AK.

c/ Ta có AH = AK và ∠HAH = ∠KAK = 90°, nên tam giác HAK đều, từ đó góc KAI = góc HAI = 60°.

d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P, ta cần chứng minh AI vuông góc BC tại P. Ta có góc KAI = góc HAI = 60°, góc BAC = 60° (do tam giác ABC cân tại A), nên góc KAP = góc HAP = 30°.
Vậy AI vuông góc BC tại P.