Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức M

Biểu thức M được cho như sau:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} \right) \frac{2\sqrt{a}}{a - 1} \]

Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

#### Phần 1: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}\)
Để rút gọn phần này, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{a} + 1\):
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + \sqrt{a}}{a - 1} \]

#### Phần 2: \(\frac{2\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}}\)
Để rút gọn phần này, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{a} + 1\):
\[ \frac{2\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(2\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{a - 1} \]

Mở rộng tử số:
\[ (2\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) = 2a + 2\sqrt{a} - \sqrt{a} - 1 = 2a + \sqrt{a} - 1 \]

Do đó:
\[ \frac{2\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{2a + \sqrt{a} - 1}{a - 1} \]

#### Kết hợp hai phần:
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{a + \sqrt{a}}{a - 1} - \frac{2a + \sqrt{a} - 1}{a - 1} \]

Chúng ta có thể kết hợp hai phân số này vì chúng có cùng mẫu số:
\[ \frac{a + \sqrt{a} - (2a + \sqrt{a} - 1)}{a - 1} = \frac{a + \sqrt{a} - 2a - \sqrt{a} + 1}{a - 1} = \frac{-a + 1}{a - 1} = -1 \]

Do đó, biểu thức M trở thành:
\[ M = -1 \cdot \frac{2\sqrt{a}}{a - 1} = -\frac{2\sqrt{a}}{a - 1} \]

### b) Tìm giá trị của M khi \( a = 6 - 2\sqrt{5} \)

Thay \( a = 6 - 2\sqrt{5} \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ M = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{6 - 2\sqrt{5} - 1} = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{5 - 2\sqrt{5}} \]

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(5 + 2\sqrt{5}\):
\[ M = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot (5 + 2\sqrt{5})}{(5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5})} = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot (5 + 2\sqrt{5})}{25 - (2\sqrt{5})^2} = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot (5 + 2\sqrt{5})}{25 - 20} = -\frac{2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \cdot (5 + 2\sqrt{5})}{5} \]

Tiếp tục rút gọn:
\[ M = -\frac{2(5\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + 2\sqrt{5}\sqrt{6 - 2\sqrt{5}})}{5} = -\frac{10\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} + 4\sqrt{5}\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{5} = -2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \frac{4\sqrt{5}\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{5} \]

Do đó, giá trị của M khi \( a = 6 - 2\sqrt{5} \) là:
\[ M = -2\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} - \frac{4\sqrt{5}\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}}{5} \]