Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu là:
\[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \]

Trước tiên, chúng ta sẽ rút gọn phần trong ngoặc:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \]

Để cộng hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \]
\[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \]

Khi đó:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \]

Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn phần còn lại của biểu thức \( P \):
\[ P = \left( \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \]

Chia phân số tương đương với nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[ P = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \times \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2(x + \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \]

Chúng ta tiếp tục rút gọn:
\[ P = \frac{2(x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}} = 2 \]

### b) Tìm \( x \) để biểu thức \( P \) có giá trị là \(\frac{5}{2}\)

Từ phần a), chúng ta đã rút gọn được biểu thức \( P \) thành \( 2 \). Do đó, không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn \( P = \frac{5}{2} \) vì \( P \) luôn bằng \( 2 \).

Vậy, không tồn tại giá trị \( x \) nào để biểu thức \( P \) có giá trị là \(\frac{5}{2}\).