Để chứng minh rằng \( A = a^{86} - a^{52} \) và \( B = a - 1 \) chia hết cho 43, ta sẽ sử dụng tính chất của số nguyên tố và định lý Fermat nhỏ.

**Bước 1: Sử dụng điều kiện \( a^{25} - 1 \) chia hết cho 43**

Điều này có nghĩa là:
\[ a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \]

**Bước 2: Chứng minh \( a - 1 \) chia hết cho 43**

Từ \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \), ta có thể suy ra rằng \( a \) là một căn bậc 25 của 1 trong modulo 43. Các căn bậc 25 của 1 modulo 43 là các số \( a \) sao cho \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \).

Nếu \( a \equiv 1 \pmod{43} \), thì rõ ràng \( a - 1 \equiv 0 \pmod{43} \), tức là \( a - 1 \) chia hết cho 43.

**Bước 3: Chứng minh \( a^{86} - a^{52} \) chia hết cho 43**

Ta có:
\[ A = a^{86} - a^{52} \]

Ta sẽ biểu diễn \( a^{86} \) và \( a^{52} \) dưới dạng các lũy thừa của \( a^{25} \).

Do \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \), ta có:
\[ a^{50} = (a^{25})^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{43} \]

Từ đó:
\[ a^{75} = (a^{25})^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{43} \]

Và:
\[ a^{100} = (a^{25})^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{43} \]

Do đó:
\[ a^{86} = a^{75 + 11} = (a^{75})(a^{11}) \equiv 1 \cdot a^{11} \equiv a^{11} \pmod{43} \]

Tương tự:
\[ a^{52} = a^{50 + 2} = (a^{50})(a^2) \equiv 1 \cdot a^2 \equiv a^2 \pmod{43} \]

Vậy:
\[ A = a^{86} - a^{52} \equiv a^{11} - a^2 \pmod{43} \]

**Bước 4: Kết luận**

Từ các bước trên, ta thấy rằng nếu \( a \equiv 1 \pmod{43} \), thì \( a - 1 \equiv 0 \pmod{43} \) và \( a^{86} - a^{52} \equiv 0 \pmod{43} \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( A = a^{86} - a^{52} \) và \( B = a - 1 \) chia hết cho 43.