Để chứng minh rằng \(\frac{EA}{EC} = \frac{MA}{MB}\), ta làm như sau:

1. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến và đường phân giác:**

- Giả sử tam giác \(ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến, tức là \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do đó, \(MB = MC\).
- Giả sử \(MD\) là đường phân giác trong của tam giác \(MAB\), tức là \(\frac{MA}{MB} = \frac{AD}{DB}\).

2. **Sử dụng tính chất đường thẳng song song:**

- Từ \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(E\). Theo định lý Ta-lét, ta có:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{DB}
\]

3. **Kết hợp các tỉ lệ:**

- Từ hai tỉ lệ trên, ta có:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{DB} = \frac{MA}{MB}
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{MA}{MB}
\]

**Chứng minh rằng \(ME\) là đường phân giác của tam giác \(MAC\):**

1. **Sử dụng tính chất đường phân giác:**

- Từ kết quả trên, ta có:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{MA}{MB}
\]

2. **Sử dụng định lý đường phân giác:**

- Theo định lý đường phân giác, nếu một đường thẳng chia một cạnh của tam giác thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh còn lại, thì đường thẳng đó là đường phân giác của góc đối diện với cạnh đó.
- Ở đây, \(ME\) chia \(AC\) thành hai đoạn \(EA\) và \(EC\) sao cho:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{MA}{MB}
\]
- Do đó, \(ME\) là đường phân giác của tam giác \(MAC\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(ME\) là đường phân giác của tam giác \(MAC\).