Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b, và c như sau:

### Phần a: Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật

1. **Tứ giác AHCK có các góc vuông:**
- Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc với BC tại H.
- N là trung điểm của AC, nên HN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC.
- Do NH = NK, nên tam giác NHK cân tại N và HN = NK.
- Góc ANH = góc KNH = 90 độ (vì tam giác NHK cân tại N và NH = NK).

2. **Các cạnh đối song song và bằng nhau:**
- AH vuông góc với BC, nên AH song song với CK.
- HN = NK, nên AH = CK.
- AC song song với HK (vì cùng vuông góc với AH).

Vậy tứ giác AHCK có các góc vuông và các cạnh đối song song và bằng nhau, nên AHCK là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh BC = 4 * NO

1. **Xét tam giác ABC:**
- Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc với BC tại H.
- N là trung điểm của AC, nên HN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC.

2. **Xét tam giác AHN và tam giác HNK:**
- Tam giác HNK cân tại N và NH = NK.
- Do đó, HN = NO (vì O là trung điểm của HK).

3. **Tính BC:**
- BC = 2 * AH (vì tam giác ABC cân tại A và AH là đường cao).
- AH = 2 * NO (vì NO là trung điểm của AH).

Vậy BC = 4 * NO.

### Phần c: Chứng minh 2 * AN = 3 * NI

1. **Xét tam giác ABC:**
- Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc với BC tại H.
- N là trung điểm của AC, nên HN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHC.

2. **Xét tam giác ANK:**
- Tam giác ANK cân tại N và NH = NK.
- Do đó, AN = NK (vì N là trung điểm của AC).

3. **Xét tam giác ANI:**
- I là giao điểm của BK và AC.
- Do đó, NI = 1/3 * AN (vì tam giác ANK cân tại N và NH = NK).

Vậy 2 * AN = 3 * NI.

Kết luận: Các phần a, b, và c đã được chứng minh.