Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học cơ bản và định lý Pitago.

**1) Chứng minh \(OA = OC\):**

Giả sử tứ giác \(ABCD\) có \(\angle DAB = 90^\circ\) và \(\angle BCD = 90^\circ\). Gọi \(O\) là trung điểm của \(BD\).

- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(OB = OD\).

- Xét tam giác \(ABD\):
\[
\angle DAB = 90^\circ
\]
Suy ra \(BD\) là đường chéo của tam giác vuông \(ABD\), nên:
\[
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}
\]

- Xét tam giác \(BCD\):
\[
\angle BCD = 90^\circ
\]
Suy ra \(BD\) là đường chéo của tam giác vuông \(BCD\), nên:
\[
BD = \sqrt{BC^2 + CD^2}
\]

- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(O\) chia \(BD\) thành hai đoạn bằng nhau:
\[
OB = OD = \frac{BD}{2}
\]

- Xét tam giác \(OAB\):
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]

- Xét tam giác \(OCD\):
\[
OC^2 = OD^2 + CD^2
\]

- Vì \(OB = OD\), ta có:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2 = OD^2 + CD^2 = OC^2
\]

- Do đó:
\[
OA = OC
\]

**2) Chứng minh \(OA = OB = OC = OD\) từ đó suy ra \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn:**

- Từ phần 1, ta đã chứng minh được \(OA = OC\).

- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(OB = OD\).

- Ta cần chứng minh thêm \(OA = OB\) và \(OC = OD\).

- Xét tam giác \(OAB\):
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]

- Xét tam giác \(OAD\):
\[
OA^2 = OD^2 + AD^2
\]

- Vì \(OB = OD\), ta có:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2 = OD^2 + AD^2
\]

- Do đó:
\[
OA = OB = OC = OD
\]

- Vì \(OA = OB = OC = OD\), tức là các điểm \(A, B, C, D\) đều cách đều điểm \(O\), nên \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn có tâm \(O\) và bán kính \(OA\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(OA = OC\) và \(OA = OB = OC = OD\), từ đó suy ra \(A, B, C, D\) cùng nằm trên một đường tròn.