Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích phương trình đã cho và điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình đã cho là:
\[ (2 \log_2 x^2 - 3 \log_2 x - 2) \sqrt{3^x - m} = 0 \]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần xem xét từng thành phần của phương trình.

1. **Phân tích biểu thức \(2 \log_2 x^2 - 3 \log_2 x - 2 = 0\):**

Đặt \( \log_2 x = t \), ta có:
\[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:
\[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \]
\[ t_1 = 2, \quad t_2 = -\frac{1}{2} \]

Từ đó, ta có:
\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4 \]
\[ \log_2 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Vậy, phương trình \(2 \log_2 x^2 - 3 \log_2 x - 2 = 0\) có hai nghiệm \( x = 4 \) và \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

2. **Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:**

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, giá trị của \( \sqrt{3^x - m} \) phải khác 0 tại cả hai nghiệm \( x = 4 \) và \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

- Tại \( x = 4 \):
\[ \sqrt{3^4 - m} = \sqrt{81 - m} \]
Điều kiện để \( \sqrt{81 - m} \neq 0 \) là:
\[ 81 - m \neq 0 \Rightarrow m \neq 81 \]

- Tại \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \):
\[ \sqrt{3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} - m} \]
Để biểu thức này có nghĩa và khác 0, ta cần:
\[ 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} > m \]

Giá trị của \( 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \) là một số dương nhỏ hơn 3. Do đó, \( m \) phải nhỏ hơn giá trị này.

Tuy nhiên, vì \( m \) là số nguyên dương, ta cần xác định các giá trị nguyên dương của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên.

- \( m \) phải nhỏ hơn 81 và là số nguyên dương.

Do đó, các giá trị nguyên dương của \( m \) là từ 1 đến 80.

Vậy, có 80 giá trị nguyên dương của \( m \) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: **A. 80**.