Để chứng minh rằng các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của BC trong hình thang ABCD (BC // AD) với điều kiện BC + AD = AB, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Giả thiết và yêu cầu chứng minh:**
- Giả thiết: Hình thang ABCD với BC // AD và BC + AD = AB.
- Yêu cầu chứng minh: Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của BC.

2. **Phân tích và chứng minh:**
- Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của góc A và góc B.
- Ta cần chứng minh rằng I là trung điểm của BC.

3. **Sử dụng tính chất của phân giác:**
- Theo tính chất của phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{IA}{ID} = \frac{AB}{BD} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(2)}
\]

4. **Sử dụng điều kiện BC + AD = AB:**
- Ta có BC + AD = AB, điều này có nghĩa là:
\[
AB = AD + BC
\]

5. **Xét tam giác ABD và tam giác ABC:**
- Trong tam giác ABD, ta có:
\[
\frac{IA}{ID} = \frac{AB}{BD}
\]
- Trong tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]

6. **Sử dụng tính chất của hình thang:**
- Vì BC // AD, nên các đoạn thẳng BC và AD là hai cạnh đáy của hình thang.
- Do đó, các đoạn thẳng AB và CD là các cạnh bên của hình thang.

7. **Chứng minh I là trung điểm của BC:**
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Ta cần chứng minh rằng I trùng với M.
- Vì BC // AD, nên các tia phân giác của góc A và góc B sẽ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường trung trực của BC.
- Do đó, điểm I nằm trên đường trung trực của BC, tức là I là trung điểm của BC.

Vậy, ta đã chứng minh rằng các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của BC.