Để giải quyết bài toán về tứ giác ABCD có AB = AD và CB = CD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn BD

1. **Xét tam giác ABD và tam giác CBD:**
- Trong tam giác ABD, ta có AB = AD (giả thiết).
- Trong tam giác CBD, ta có CB = CD (giả thiết).

2. **Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD:**
- Gọi O là giao điểm của AC và BD.
- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- AB = AD (giả thiết).
- CB = CD (giả thiết).
- AC là cạnh chung.
- Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác cân có cạnh chung AC và các cạnh bên bằng nhau.

3. **Góc tại O:**
- Vì tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác cân, nên góc BAD = góc CAD.
- Do đó, AC là đường phân giác của góc BAD và góc CAD.

4. **Chứng minh O là trung điểm của BD:**
- Vì tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác cân, nên đoạn BD bị chia đôi tại điểm O.
- Do đó, O là trung điểm của BD.

5. **Chứng minh AC vuông góc với BD:**
- Vì tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác cân, nên góc tại O là góc vuông.
- Do đó, AC vuông góc với BD.

Kết luận: AC là đường trung trực của đoạn BD.

### b) Tính các góc B và D

Để tính các góc B và D, ta cần biết thêm thông tin về các góc trong tứ giác ABCD. Tuy nhiên, với giả thiết AB = AD và CB = CD, ta có thể suy ra một số tính chất:

1. **Góc tại A:**
- Vì tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác cân, nên góc BAD = góc CAD.
- Do đó, góc tại A là góc cân.

2. **Góc tại B và D:**
- Vì AC là đường trung trực của BD, nên góc BAC = góc DAC.
- Do đó, góc B và góc D là hai góc đối đỉnh và bằng nhau.

3. **Tính góc B và D:**
- Tổng các góc trong tứ giác ABCD là 360 độ.
- Vì góc tại A là góc cân và góc tại C là góc cân, nên tổng các góc tại A và C là 180 độ.
- Do đó, tổng các góc B và D là 180 độ.
- Vì góc B = góc D, nên mỗi góc B và D là 90 độ.

Kết luận: Góc B và góc D đều bằng 90 độ.