Để giải bài toán này, ta cần tìm kích thước của mảnh đất hình chữ nhật sao cho diện tích của nó là lớn nhất, với điều kiện tổng chiều dài của các cạnh được rào không vượt quá 80 mét và một cạnh đã có sẵn hàng rào.

Giả sử chiều dài của mảnh đất là \( x \) mét và chiều rộng là \( y \) mét. Vì một cạnh đã có sẵn hàng rào, ta chỉ cần rào ba cạnh còn lại. Do đó, ta có phương trình:

\[ x + 2y = 80 \]

Ta cần tìm giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho diện tích \( A \) của mảnh đất là lớn nhất. Diện tích \( A \) được tính bằng:

\[ A = x \cdot y \]

Từ phương trình \( x + 2y = 80 \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[ y = \frac{80 - x}{2} \]

Thay \( y \) vào công thức diện tích \( A \):

\[ A = x \cdot \frac{80 - x}{2} \]

\[ A = \frac{80x - x^2}{2} \]

\[ A = 40x - \frac{x^2}{2} \]

Để tìm giá trị \( x \) sao cho diện tích \( A \) là lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của \( A \) theo \( x \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0:

\[ \frac{dA}{dx} = 40 - x \]

Đặt \( \frac{dA}{dx} = 0 \):

\[ 40 - x = 0 \]

\[ x = 40 \]

Để xác định đây là giá trị cực đại, ta xét đạo hàm bậc hai của \( A \):

\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -1 \]

Vì \( \frac{d^2A}{dx^2} < 0 \), nên \( x = 40 \) là điểm cực đại.

Khi \( x = 40 \):

\[ y = \frac{80 - 40}{2} = 20 \]

Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh đất hình chữ nhật là:

\[ A = x \cdot y = 40 \cdot 20 = 800 \, \text{m}^2 \]

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất hình chữ nhật là 800 mét vuông.