Để chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau. Dưới đây là các bước chi tiết:

**Bài 1: Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành**

1. **Xét tam giác ABC có H là trực tâm:**
- H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.
- Do đó, AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, và CH ⊥ AB.

2. **Xét điểm D:**
- D là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C.
- Do đó, DB ⊥ AB và DC ⊥ AC.

3. **Chứng minh BD // CH:**
- Vì DB ⊥ AB và CH ⊥ AB (do H là trực tâm), nên DB // CH.

4. **Chứng minh BC // DH:**
- Vì DC ⊥ AC và BH ⊥ AC (do H là trực tâm), nên DC // BH.
- Do đó, BC // DH.

5. **Chứng minh BD = CH và BC = DH:**
- Xét tam giác vuông BHD và tam giác vuông CHD:
- BH = CH (vì H là trực tâm của tam giác ABC).
- BD = DC (vì D là giao điểm của các đường vuông góc với AB và AC tại B và C).

6. **Kết luận:**
- Tứ giác BDCH có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (BD // CH và BC // DH, BD = CH và BC = DH).
- Do đó, tứ giác BDCH là hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác BDCH là hình bình hành.