Để tìm giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình \( |2x + 3| + |2x - 1| = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \), chúng ta cần xem xét các trường hợp khác nhau của giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xét các khoảng giá trị của \( x \)

Phương trình có hai biểu thức giá trị tuyệt đối: \( |2x + 3| \) và \( |2x - 1| \). Chúng ta cần xác định các điểm mà các biểu thức này thay đổi dấu:

1. \( 2x + 3 = 0 \) \(\Rightarrow x = -\frac{3}{2} \)
2. \( 2x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow x = \frac{1}{2} \)

Vậy, chúng ta sẽ xét các khoảng giá trị của \( x \) sau:
- \( x < -\frac{3}{2} \)
- \( -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \)
- \( x \geq \frac{1}{2} \)

### Bước 2: Xét từng khoảng giá trị của \( x \)

#### Trường hợp 1: \( x < -\frac{3}{2} \)

Trong khoảng này, cả \( 2x + 3 \) và \( 2x - 1 \) đều âm, do đó:
\[ |2x + 3| = -(2x + 3) \]
\[ |2x - 1| = -(2x - 1) \]

Phương trình trở thành:
\[ -(2x + 3) - (2x - 1) = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ -2x - 3 - 2x + 1 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ -4x - 2 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ -4x - 4 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 \]
\[ -4(x + 1) = \frac{8}{3}(x + 1)^2 \]

Chia cả hai vế cho \( x + 1 \) (lưu ý \( x \neq -1 \)):
\[ -4 = \frac{8}{3}(x + 1) \]
\[ -12 = 8(x + 1) \]
\[ -12 = 8x + 8 \]
\[ -20 = 8x \]
\[ x = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} \]

Giá trị này không nằm trong khoảng \( x < -\frac{3}{2} \), nên không thỏa mãn.

#### Trường hợp 2: \( -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \)

Trong khoảng này, \( 2x + 3 \) dương và \( 2x - 1 \) âm, do đó:
\[ |2x + 3| = 2x + 3 \]
\[ |2x - 1| = -(2x - 1) \]

Phương trình trở thành:
\[ 2x + 3 - (2x - 1) = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ 2x + 3 - 2x + 1 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ 4 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ 2 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 \]
\[ 6 = 8(x + 1)^2 \]
\[ \frac{3}{4} = (x + 1)^2 \]
\[ x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \]
\[ x + 1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ x = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Xét hai giá trị:
1. \( x = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \) (nằm trong khoảng \( -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \))
2. \( x = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \) (không nằm trong khoảng \( -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \))

Vậy giá trị thỏa mãn là \( x = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \).

#### Trường hợp 3: \( x \geq \frac{1}{2} \)

Trong khoảng này, cả \( 2x + 3 \) và \( 2x - 1 \) đều dương, do đó:
\[ |2x + 3| = 2x + 3 \]
\[ |2x - 1| = 2x - 1 \]

Phương trình trở thành:
\[ 2x + 3 + 2x - 1 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ 4x + 2 = \frac{8}{3}(x + 1)^2 + 2 \]
\[ 4x = \frac{8}{3}(x + 1)^2 \]
\[ 12x = 8(x + 1)^2 \]
\[ 3x = 2(x + 1)^2 \]

Giải phương trình này:
\[ 3x = 2(x^2 + 2x + 1) \]
\[ 3x = 2x^2 + 4x + 2 \]
\[ 0 = 2x^2 + x + 2 \]

Phương trình này không có nghiệm thực vì \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 \).

### Kết luận

Giá trị duy nhất thỏa mãn phương trình là:
\[ x = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \]