Để chứng minh rằng \( MN \parallel Oz \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và trung điểm.

1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( O \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \).
- Gọi \( A \) có tọa độ \( (a, 0) \) và \( B \) có tọa độ \( (b, 0) \) trên tia \( Ox \) với \( 0 < a < b \).
- Gọi \( C \) có tọa độ \( (0, c) \) và \( D \) có tọa độ \( (0, d) \) trên tia \( Oy \) với \( 0 < c < d \).

2. **Điều kiện \( AB = CD \):**
- Ta có \( AB = b - a \) và \( CD = d - c \).
- Theo giả thiết, \( AB = CD \) nên \( b - a = d - c \).

3. **Tọa độ trung điểm \( M \) và \( N \):**
- Trung điểm \( M \) của \( AC \) có tọa độ:
\[
M \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Trung điểm \( N \) của \( BD \) có tọa độ:
\[
N \left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + d}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{d}{2} \right)
\]

4. **Xét vector \( \overrightarrow{MN} \):**
- Vector \( \overrightarrow{MN} \) có tọa độ:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{d}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( \frac{b - a}{2}, \frac{d - c}{2} \right)
\]
- Do \( b - a = d - c \), ta có:
\[
\overrightarrow{MN} = \left( \frac{b - a}{2}, \frac{d - c}{2} \right) = \left( \frac{d - c}{2}, \frac{d - c}{2} \right)
\]

5. **Xét vector \( \overrightarrow{Oz} \):**
- Tia phân giác \( Oz \) của góc \( xOy \) có phương trình \( y = x \) (vì \( Oz \) chia đôi góc \( xOy \)).
- Vector chỉ phương của \( Oz \) là \( \overrightarrow{Oz} = (1, 1) \).

6. **So sánh vector \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{Oz} \):**
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left( \frac{d - c}{2}, \frac{d - c}{2} \right) \) có dạng \( (k, k) \) với \( k = \frac{d - c}{2} \).
- Vector \( \overrightarrow{Oz} = (1, 1) \) cũng có dạng \( (k, k) \) với \( k = 1 \).

Do đó, vector \( \overrightarrow{MN} \) và vector \( \overrightarrow{Oz} \) cùng phương, tức là \( MN \parallel Oz \).

Vậy ta đã chứng minh được \( MN \parallel Oz \).