Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình thang, ta cần chứng minh rằng \(ABCD\) có hai cạnh đối song song.

Cho tứ giác \(ABCD\) với \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Giả sử \(MN = \frac{AD + BC}{2}\).

Xét các vectơ:
- \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \)
- \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \)
- \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \)
- \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \)

Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), ta có:
- \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \)
- \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \)

Xét vectơ \( \overrightarrow{MN} \):
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \frac{(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B})}{2} \]

Từ giả thiết \( MN = \frac{AD + BC}{2} \), ta có:
\[ |\overrightarrow{MN}| = \left| \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2} \right| \]

Do đó:
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2} \]

Điều này có nghĩa là:
\[ \frac{(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B})}{2} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2} \]

Suy ra:
\[ (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \]

Từ đó, ta có:
\[ \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \]

Điều này đúng với mọi vectơ, do đó:
\[ \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \]
\[ \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} \]

Vậy, \( \overrightarrow{MN} \) song song với \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \).

Do đó, \(ABCD\) là hình thang với hai cạnh song song là \(AD\) và \(BC\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(ABCD\) là hình thang.