Để tìm thể tích lớn nhất của cái gầu hình nón, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính bán kính của tấm tôn hình tròn:**
Diện tích của tấm tôn hình tròn là \(4\pi \, \text{dm}^2\). Gọi bán kính của tấm tôn là \(R\), ta có:
\[
\pi R^2 = 4\pi \implies R^2 = 4 \implies R = 2 \, \text{dm}
\]

2. **Tính bán kính đáy của hình nón:**
Gọi bán kính đáy của hình nón là \(r\) và chiều cao của hình nón là \(h\). Khi cắt tấm tôn thành hình quạt có góc ở tâm là \(a\), ta có:
\[
\text{Độ dài cung của hình quạt} = R \cdot a = 2a
\]
Độ dài cung này chính là chu vi đáy của hình nón, do đó:
\[
2\pi r = 2a \implies r = \frac{a}{\pi}
\]

3. **Tính chiều cao của hình nón:**
Từ hình vẽ, ta thấy rằng bán kính của tấm tôn (cũng là đường sinh của hình nón) là \(R = 2 \, \text{dm}\). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi \(r\), \(h\), và \(R\), ta có:
\[
R^2 = r^2 + h^2 \implies 4 = \left(\frac{a}{\pi}\right)^2 + h^2 \implies h^2 = 4 - \left(\frac{a}{\pi}\right)^2 \implies h = \sqrt{4 - \left(\frac{a}{\pi}\right)^2}
\]

4. **Tính thể tích của hình nón:**
Thể tích của hình nón được tính bằng công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
Thay \(r = \frac{a}{\pi}\) và \(h = \sqrt{4 - \left(\frac{a}{\pi}\right)^2}\) vào, ta có:
\[
V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{\pi}\right)^2 \sqrt{4 - \left(\frac{a}{\pi}\right)^2} = \frac{a^2}{3\pi} \sqrt{4 - \frac{a^2}{\pi^2}} = \frac{a^2}{3\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 - a^2}{\pi^2}} = \frac{a^2}{3\pi} \cdot \frac{\sqrt{4\pi^2 - a^2}}{\pi} = \frac{a^2 \sqrt{4\pi^2 - a^2}}{3\pi^2}
\]

5. **Tìm giá trị lớn nhất của thể tích:**
Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
\[
f(a) = \frac{a^2 \sqrt{4\pi^2 - a^2}}{3\pi^2}
\]
Ta xét đạo hàm của \(f(a)\) và tìm nghiệm của phương trình \(f'(a) = 0\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị của \(a\) trong khoảng \(0 < a < 2\pi\).

Sau khi tính toán, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi \(a = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}\). Thay giá trị này vào công thức thể tích, ta có:
\[
V_{\text{max}} = \frac{\left(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{4\pi^2 - \left(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\right)^2}}{3\pi^2} = \frac{\frac{4\pi^2}{3} \cdot \sqrt{4\pi^2 - \frac{4\pi^2}{3}}}{3\pi^2} = \frac{\frac{4\pi^2}{3} \cdot \sqrt{\frac{8\pi^2}{3}}}{3\pi^2} = \frac{\frac{4\pi^2}{3} \cdot \frac{2\pi}{\sqrt{3}}}{3\pi^2} = \frac{8\pi^3}{9\pi^2 \sqrt{3}} = \frac{8\pi}{9\sqrt{3}} = \frac{8\pi \sqrt{3}}{27}
\]

Vậy thể tích lớn nhất của cái gầu là \(\frac{8\pi \sqrt{3}}{27} \, \text{dm}^3\).