Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( AH = DE \).

Xét các tam giác vuông \( \triangle AHD \) và \( \triangle AHE \):

- \( \angle AHD = \angle AHE = 90^\circ \) (do \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \)).
- \( \angle HAD = \angle HAE \) (vì \( H \) là điểm chung và \( \angle A \) là góc chung).

Do đó, hai tam giác \( \triangle AHD \) và \( \triangle AHE \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

Vì hai tam giác đồng dạng, tỉ lệ các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau:

\[ \frac{AH}{AH} = \frac{HD}{HE} \]

Do \( AH \) là cạnh chung, ta có:

\[ AH = DE \]

### b) Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh rằng \( AI \perp DE \).

Xét tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \):

- \( I \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( AI \) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \( BC \).

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và vuông góc với cạnh huyền. Do đó:

\[ AI \perp BC \]

Vì \( DE \) là đường cao từ \( H \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \), nên \( DE \) song song với \( BC \). Do đó:

\[ AI \perp DE \]

### c) Từ \( A \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( DE \), cắt \( BC \) tại \( I \). Chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( BC \).

Như đã chứng minh ở phần b, \( AI \) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \( BC \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \). Do đó, \( I \) là trung điểm của \( BC \).

### d) \( M \) là trung điểm của \( BH \), \( N \) là trung điểm của \( HC \). Tứ giác \( DMNE \) là hình gì?

Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BH \) và \( HC \), nên \( DM \) và \( EN \) là các đường trung bình của các tam giác \( \triangle BHD \) và \( \triangle CHE \).

Do đó, \( DM \parallel DE \) và \( EN \parallel DE \). Vì \( DM \parallel EN \) và \( DM = EN \), tứ giác \( DMNE \) là hình bình hành.

### e) Từ \( D \) kẻ \( DM \perp DE \) (M thuộc \( BC \)), \( EN \perp DE \) (N thuộc \( BC \)). Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( BH \), \( N \) là trung điểm của \( HC \).

Do \( DM \perp DE \) và \( EN \perp DE \), \( M \) và \( N \) là các điểm thuộc \( BC \) sao cho \( DM \) và \( EN \) là các đường trung bình của các tam giác \( \triangle BHD \) và \( \triangle CHE \). Do đó, \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BH \) và \( HC \).