Cho P=x-1/x mũ 2 +x+1-3x/1-x mũ 3-x+1/x-1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu:
\[ P = \frac{x-1}{x^2 + x + 1} - \frac{3x}{1 - x^3} - \frac{x+1}{x-1} \]

Trước tiên, chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức.

1. \(\frac{x-1}{x^2 + x + 1}\):
Biểu thức này không thể rút gọn thêm.

2. \(\frac{3x}{1 - x^3}\):
Ta biết rằng \(1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)\). Vậy:
\[ \frac{3x}{1 - x^3} = \frac{3x}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{-3x}{(x - 1)(1 + x + x^2)} \]

3. \(\frac{x+1}{x-1}\):
Biểu thức này không thể rút gọn thêm.

Kết hợp lại, ta có:
\[ P = \frac{x-1}{x^2 + x + 1} + \frac{3x}{(x - 1)(1 + x + x^2)} - \frac{x+1}{x-1} \]

Để cộng các phân thức này, ta cần quy đồng mẫu số:
\[ P = \frac{(x-1)(x-1) - 3x - (x+1)(1 + x + x^2)}{(x-1)(1 + x + x^2)} \]

Rút gọn tử số:
\[ (x-1)^2 - 3x - (x+1)(1 + x + x^2) = x^2 - 2x + 1 - 3x - (x + 1 + x^2 + x^3) = x^2 - 5x + 1 - x - 1 - x^2 - x^3 = -x^3 - 6x \]

Vậy:
\[ P = \frac{-x^3 - 6x}{(x-1)(1 + x + x^2)} \]

### b) Tính giá trị của \( P \) với \( |x+2| = 3 \)

Ta có \( |x+2| = 3 \) nên \( x+2 = 3 \) hoặc \( x+2 = -3 \).

- Nếu \( x+2 = 3 \) thì \( x = 1 \).
- Nếu \( x+2 = -3 \) thì \( x = -5 \).

Tính \( P \) với \( x = 1 \):
\[ P = \frac{-(1)^3 - 6(1)}{(1-1)(1 + 1 + 1^2)} = \frac{-1 - 6}{0} \]
Biểu thức không xác định vì mẫu số bằng 0.

Tính \( P \) với \( x = -5 \):
\[ P = \frac{-(-5)^3 - 6(-5)}{(-5-1)(1 - 5 + 25)} = \frac{-(-125) + 30}{-6 \cdot 21} = \frac{125 + 30}{-126} = \frac{155}{-126} = -\frac{155}{126} = -\frac{31}{21} \]

### c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nguyên

Ta cần tìm \( x \) sao cho \( \frac{-x^3 - 6x}{(x-1)(1 + x + x^2)} \) là số nguyên.

Để \( P \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta sẽ thử một số giá trị nguyên của \( x \):

- \( x = 0 \):
\[ P = \frac{-(0)^3 - 6(0)}{(0-1)(1 + 0 + 0^2)} = \frac{0}{-1} = 0 \]

- \( x = 1 \):
Như đã tính ở trên, biểu thức không xác định.

- \( x = -1 \):
\[ P = \frac{-(-1)^3 - 6(-1)}{(-1-1)(1 - 1 + (-1)^2)} = \frac{-(-1) + 6}{-2 \cdot 1} = \frac{1 + 6}{-2} = \frac{7}{-2} = -\frac{7}{2} \]

- \( x = 2 \):
\[ P = \frac{-(2)^3 - 6(2)}{(2-1)(1 + 2 + 2^2)} = \frac{-8 - 12}{1 \cdot 7} = \frac{-20}{7} = -\frac{20}{7} \]

- \( x = -2 \):
\[ P = \frac{-(-2)^3 - 6(-2)}{(-2-1)(1 - 2 + (-2)^2)} = \frac{-(-8) + 12}{-3 \cdot 3} = \frac{8 + 12}{-9} = \frac{20}{-9} = -\frac{20}{9} \]

Như vậy, giá trị nguyên duy nhất của \( x \) để \( P \) nguyên là \( x = 0 \).