Để chứng minh tứ giác AECK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

**a. Chứng minh tứ giác AECK là hình bình hành**

1. **Chứng minh AE // CK:**

- Vì E là trung điểm của CD, nên \( \vec{CE} = \vec{ED} \).
- Vì K là trung điểm của AB, nên \( \vec{AK} = \vec{KB} \).
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( \vec{AB} = \vec{CD} \).
- Do đó, \( \vec{AE} = \vec{A} + \vec{E} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{CD} \).
- Tương tự, \( \vec{CK} = \vec{C} + \vec{K} = \vec{C} + \frac{1}{2}\vec{AB} \).
- Vì \( \vec{AB} = \vec{CD} \), ta có \( \vec{AE} = \vec{CK} \).

Vậy, AE // CK và AE = CK.

2. **Chứng minh AC // EK:**

- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( \vec{AC} = \vec{BD} \).
- Vì E là trung điểm của CD, nên \( \vec{CE} = \vec{ED} \).
- Vì K là trung điểm của AB, nên \( \vec{AK} = \vec{KB} \).
- Do đó, \( \vec{EK} = \vec{E} + \vec{K} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \frac{1}{2}\vec{AB} \).
- Vì \( \vec{AB} = \vec{CD} \), ta có \( \vec{EK} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{CD} \).

Vậy, AC // EK và AC = EK.

Vì hai cặp cạnh đối của tứ giác AECK song song và bằng nhau, nên tứ giác AECK là hình bình hành.

**b. Chứng minh ba điểm E, O, K thẳng hàng**

- Gọi \( O \) là giao điểm của AC và BD.
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Vì E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB, nên \( E \) và \( K \) nằm trên đường trung bình của hình bình hành ABCD.
- Do đó, \( O \) cũng nằm trên đường trung bình này.

Vậy ba điểm E, O, K thẳng hàng.

**c. Chứng minh DN = NI = IB**

- Gọi \( N \) là giao điểm của BD và AE.
- Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Do đó, \( N \) là trung điểm của BD.
- Vì \( N \) là trung điểm của BD, nên \( DN = NB \).
- Vì \( N \) là trung điểm của BD và \( I \) là trung điểm của AC, nên \( NI = \frac{1}{2}BD \).

Vậy, DN = NI = IB.

**d. Chứng minh AE = 3KI**

- Gọi \( I \) là giao điểm của CK và AC.
- Vì K là trung điểm của AB và E là trung điểm của CD, nên \( AE \) và \( CK \) là các đường trung bình của hình bình hành ABCD.
- Do đó, \( AE = CK \).
- Vì \( I \) là trung điểm của AC và \( K \) là trung điểm của AB, nên \( KI \) là đường trung bình của tam giác \( AIC \).
- Do đó, \( KI = \frac{1}{2}AC \).
- Vì \( AC = 2KI \), nên \( AE = 3KI \).

Vậy, AE = 3KI.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.