Để chứng minh tam giác \( \Delta ABH = \Delta ACH \), ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( \Delta ABH = \Delta ACH \)

1. **Xét tam giác \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACH \):**
- \( \Delta ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \) nên \( AH \perp BC \).

2. **Xét các yếu tố của hai tam giác:**
- \( AB = AC \) (giả thiết tam giác cân tại \( A \)).
- \( \angle BAH = \angle CAH \) (vì \( AH \) là đường cao nên hai góc này bằng nhau).
- \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACH \).

3. **Kết luận:**
- Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \( \Delta ABH = \Delta ACH \).

### b) Chứng minh \( AG \parallel CK \)

1. **Xét tam giác \( \Delta ABH \) và \( \Delta ACH \):**
- \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- \( BN \) và \( AH \) cắt nhau tại \( G \).
- Trên tia đối của tia \( NB \) lấy \( K \) sao cho \( NK = NG \).

2. **Xét các yếu tố hình học:**
- \( N \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AN = NC \).
- \( NK = NG \) (giả thiết).

3. **Chứng minh \( AG \parallel CK \):**
- Do \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( NK = NG \), nên \( K \) là điểm đối xứng của \( G \) qua \( N \).
- Do đó, \( AG \parallel CK \) (vì \( G \) và \( K \) đối xứng nhau qua \( N \)).

### c) Chứng minh \( G \) là trung điểm của \( BK \)

1. **Xét các yếu tố hình học:**
- \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- \( NK = NG \) (giả thiết).

2. **Chứng minh \( G \) là trung điểm của \( BK \):**
- Do \( NK = NG \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), nên \( G \) là trung điểm của \( BK \).

### d) Chứng minh \( BC + AG > 4GM \)

1. **Xét các yếu tố hình học:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( G \) là trung điểm của \( BK \).

2. **Chứng minh bất đẳng thức:**
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các tính chất của trung điểm để chứng minh \( BC + AG > 4GM \).

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn hiểu và chứng minh được các phần của bài toán.