Để tìm số nguyên \( n \) trong các bài toán trên, ta sẽ giải từng bài một:

**a) \( 27^n \cdot 3^n = 9 \)**

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng cơ số 3:
\[ 27 = 3^3 \]
\[ 9 = 3^2 \]

Do đó, phương trình trở thành:
\[ (3^3)^n \cdot 3^n = 3^2 \]
\[ 3^{3n} \cdot 3^n = 3^2 \]
\[ 3^{4n} = 3^2 \]

So sánh số mũ của cơ số 3:
\[ 4n = 2 \]
\[ n = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Tuy nhiên, \( n \) phải là số nguyên, nên không có giá trị nguyên nào thỏa mãn phương trình này.

**b) \( 81 \cdot (-3)^n = -243 \)**

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng cơ số 3:
\[ 81 = 3^4 \]
\[ -243 = -3^5 \]

Do đó, phương trình trở thành:
\[ 3^4 \cdot (-3)^n = -3^5 \]
\[ 3^4 \cdot (-1)^n \cdot 3^n = -3^5 \]
\[ 3^{4+n} \cdot (-1)^n = -3^5 \]

So sánh số mũ của cơ số 3:
\[ 4 + n = 5 \]
\[ n = 1 \]

Kiểm tra dấu:
\[ (-1)^n = -1 \]
Vì \( n = 1 \) là số lẻ, nên \( (-1)^1 = -1 \), thỏa mãn dấu của phương trình.

Vậy \( n = 1 \).

**c) \( \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 9.25 \)**

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng cơ số 2:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 9.25 \]
\[ 2^{n-1} + 4 \cdot 2^n = 9.25 \]
\[ 2^{n-1} + 2^2 \cdot 2^n = 9.25 \]
\[ 2^{n-1} + 2^{n+2} = 9.25 \]
\[ 2^{n-1} + 2^{n+2} = 9.25 \]

Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên của \( n \) để tìm giá trị phù hợp:

Nếu \( n = 1 \):
\[ 2^{1-1} + 2^{1+2} = 2^0 + 2^3 = 1 + 8 = 9 \neq 9.25 \]

Nếu \( n = 2 \):
\[ 2^{2-1} + 2^{2+2} = 2^1 + 2^4 = 2 + 16 = 18 \neq 9.25 \]

Nếu \( n = 3 \):
\[ 2^{3-1} + 2^{3+2} = 2^2 + 2^5 = 4 + 32 = 36 \neq 9.25 \]

Nếu \( n = -1 \):
\[ 2^{-1-1} + 2^{-1+2} = 2^{-2} + 2^1 = \frac{1}{4} + 2 = 0.25 + 2 = 2.25 \neq 9.25 \]

Nếu \( n = 0 \):
\[ 2^{0-1} + 2^{0+2} = 2^{-1} + 2^2 = \frac{1}{2} + 4 = 0.5 + 4 = 4.5 \neq 9.25 \]

Nếu \( n = -2 \):
\[ 2^{-2-1} + 2^{-2+2} = 2^{-3} + 2^0 = \frac{1}{8} + 1 = 0.125 + 1 = 1.125 \neq 9.25 \]

Không có giá trị nguyên nào của \( n \) thỏa mãn phương trình này.

Tóm lại:
a) Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.
b) \( n = 1 \).
c) Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.