Để chứng minh rằng \(MN\) song song với \(BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\), ta có thể sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác. Định lý này phát biểu rằng đường trung bình của tam giác nối trung điểm của hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó.

Cho tam giác \(ABC\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\). Ta cần chứng minh rằng \(MN \parallel BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).

1. **Chứng minh \(MN \parallel BC\):**

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có:
\[
AM = MB
\]
- Vì \(N\) là trung điểm của \(AC\), ta có:
\[
AN = NC
\]
- Xét tam giác \(ABC\), ta có hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\).
- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba. Do đó, \(MN \parallel BC\).

2. **Chứng minh \(MN = \frac{1}{2} BC\):**

- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường trung bình nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác thì bằng nửa độ dài cạnh thứ ba. Do đó, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]

Vậy, từ định lý đường trung bình trong tam giác, ta đã chứng minh được rằng \(MN \parallel BC\) và \(MN = \frac{1}{2} BC\).